MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0mnnnnn0 11175
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 9897 . 2 0 ∈ ℝ
2 nnel 2891 . . 3 (¬ (0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
3 df-neg 10121 . . . . . 6 -𝑁 = (0 − 𝑁)
43eqcomi 2618 . . . . 5 (0 − 𝑁) = -𝑁
54eleq1i 2678 . . . 4 ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0ge0 11168 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
7 nnre 10877 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
87le0neg1d 10451 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
9 nngt0 10899 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10 0red 9898 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1110, 7ltnled 10036 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
12 pm2.21 118 . . . . . . . 8 𝑁 ≤ 0 → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
1311, 12syl6bi 241 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
149, 13mpd 15 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
158, 14sylbird 248 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
166, 15syl5 33 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
175, 16syl5bi 230 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
182, 17syl5bi 230 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (0 − 𝑁) ∉ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
191, 18mt4i 151 1 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1976  wnel 2780   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9792  0cc0 9793   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118  -cneg 10119  cn 10870  0cn0 11142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator