MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nelfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nelfz1 12186
Description: 0 is not an element of a finite interval of integers starting at 1. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
0nelfz1 0 ∉ (1...𝑁)

Proof of Theorem 0nelfz1
StepHypRef Expression
1 0lt1 10399 . . . . 5 0 < 1
2 0re 9896 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
42, 3ltnlei 10009 . . . . 5 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
51, 4mpbi 218 . . . 4 ¬ 1 ≤ 0
65intnanr 951 . . 3 ¬ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)
76intnan 950 . 2 ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
8 df-nel 2782 . . 3 (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
9 elfz2 12159 . . 3 (0 ∈ (1...𝑁) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
108, 9xchbinx 322 . 2 (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
117, 10mpbir 219 1 0 ∉ (1...𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 382  w3a 1030  wcel 1976  wnel 2780   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  cz 11210  ...cfz 12152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-z 11211  df-fz 12153
This theorem is referenced by:  lcmflefac  15145  prmodvdslcmf  15535  prmolelcmf  15536  prmgaplcmlem2  15540  prmgaplcm  15548
  Copyright terms: Public domain W3C validator