Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ome Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ome 41241
Description: The map that assigns 0 to every subset, is an outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
0ome.1 (𝜑𝑋𝑉)
0ome.2 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
Assertion
Ref Expression
0ome (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Distinct variable group:   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem 0ome
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
2 0e0iccpnf 12468 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 0 ∈ (0[,]+∞))
41, 3fmpti 6538 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)
5 0ome.2 . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
6 eqidd 2753 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → 0 = 0)
76cbvmptv 4894 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
85, 7eqtri 2774 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
98feq1i 6189 . . . . . . . . 9 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
108dmeqi 5472 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑂 = dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
11 0re 10224 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
1211rgenw 3054 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋0 ∈ ℝ
13 dmmptg 5785 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑋0 ∈ ℝ → dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = 𝒫 𝑋)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = 𝒫 𝑋
1510, 14eqtri 2774 . . . . . . . . . 10 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋
1615feq2i 6190 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
179, 16bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0):𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
184, 17mpbir 221 . . . . . . 7 𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞)
19 unipw 5059 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑋 = 𝑋
2019pweqi 4298 . . . . . . . . 9 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋
2120eqcomi 2761 . . . . . . . 8 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝒫 𝑋
2215eqcomi 2761 . . . . . . . . . 10 𝒫 𝑋 = dom 𝑂
2322unieqi 4589 . . . . . . . . 9 𝒫 𝑋 = dom 𝑂
2423pweqi 4298 . . . . . . . 8 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 dom 𝑂
2515, 21, 243eqtri 2778 . . . . . . 7 dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂
2618, 25pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂)
27 0elpw 4975 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝑋
28 eqidd 2753 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → 0 = 0)
2911elexi 3345 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3028, 8, 29fvmpt 6436 . . . . . . 7 (∅ ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘∅) = 0)
3127, 30ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑂‘∅) = 0
3226, 31pm3.2i 470 . . . . 5 ((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0)
3311leidi 10746 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
3433a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 0 ≤ 0)
35 elpwi 4304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑦𝑧𝑦)
3635adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧𝑦)
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
3821, 24eqtr2i 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
4037, 39eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
41 elpwi 4304 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦𝑋)
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑦𝑋)
4436, 43sstrd 3746 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧𝑋)
45 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑦)
46 elpwg 4302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋))
4844, 47mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
4911a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
50 eqidd 2753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 → 0 = 0)
5150cbvmptv 4894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
528, 51eqtri 2774 . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0)
5352fvmpt2 6445 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑂𝑧) = 0)
5448, 49, 53syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑧) = 0)
558fvmpt2 6445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑂𝑦) = 0)
5640, 11, 55sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = 0)
5756adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑦) = 0)
5854, 57breq12d 4809 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → ((𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦) ↔ 0 ≤ 0))
5934, 58mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
6059ralrimiva 3096 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
6160rgen 3052 . . . . 5 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)
6232, 61pm3.2i 470 . . . 4 (((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦))
6333a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 0 ≤ 0)
6452a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑂 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0))
65 eqidd 2753 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 = 𝑦) → 0 = 0)
66 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6715pweqi 4298 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6966, 68eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
70 elpwi 4304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
72 sspwuni 4755 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋)
7371, 72sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦𝑋)
74 vuniex 7111 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦 ∈ V)
76 elpwg 4302 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 𝑦𝑋))
7873, 77mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
7911a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → 0 ∈ ℝ)
8064, 65, 78, 79fvmptd 6442 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂 𝑦) = 0)
8164reseq1d 5542 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦))
82 resmpt 5599 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8371, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ((𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8481, 83eqtrd 2786 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ 0))
8584fveq2d 6348 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑂𝑦)) = (Σ^‘(𝑧𝑦 ↦ 0)))
86 nfv 1984 . . . . . . . . . 10 𝑧 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂
8786, 66sge0z 41087 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑧𝑦 ↦ 0)) = 0)
8885, 87eqtrd 2786 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (Σ^‘(𝑂𝑦)) = 0)
8980, 88breq12d 4809 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → ((𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)) ↔ 0 ≤ 0))
9063, 89mpbird 247 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))
9190a1d 25 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))
9291rgen 3052 . . . 4 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))
9362, 92pm3.2i 470 . . 3 ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))
9493a1i 11 . 2 (𝜑 → ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦)))))
958a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑂 = (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0))
96 0ome.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
97 pwexg 4991 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
9896, 97syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
99 mptexg 6640 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ∈ V)
10098, 99syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ 0) ∈ V)
10195, 100eqeltrd 2831 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ V)
102 isome 41206 . . 3 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))))
103101, 102syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑧 ∈ 𝒫 𝑦(𝑂𝑧) ≤ (𝑂𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑦 ≼ ω → (𝑂 𝑦) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑦))))))
10494, 103mpbird 247 1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  Vcvv 3332  wss 3707  c0 4050  𝒫 cpw 4294   cuni 4580   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  cres 5260  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  ωcom 7222  cdom 8111  cr 10119  0cc0 10120  +∞cpnf 10255  cle 10259  [,]cicc 12363  Σ^csumge0 41074  OutMeascome 41201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-sumge0 41075  df-ome 41202
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator