MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0plef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0plef 23190
Description: Two ways to say that the function 𝐹 on the reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
0plef (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟𝐹))

Proof of Theorem 0plef
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12110 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 fss 5955 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
31, 2mpan2 702 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4 ffvelrn 6250 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5 elrege0 12108 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
65baib 941 . . . . 5 ((𝐹𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
74, 6syl 17 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
87ralbidva 2967 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
9 ffn 5944 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10 ffnfv 6280 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
1110baib 941 . . . 4 (𝐹 Fn ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
13 0cn 9889 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
14 fnconstg 5991 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (ℂ × {0}) Fn ℂ
16 df-0p 23188 . . . . . . 7 0𝑝 = (ℂ × {0})
1716fneq1i 5885 . . . . . 6 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
1815, 17mpbir 219 . . . . 5 0𝑝 Fn ℂ
1918a1i 11 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 0𝑝 Fn ℂ)
20 cnex 9874 . . . . 5 ℂ ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℂ ∈ V)
22 reex 9884 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
24 ax-resscn 9850 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
25 sseqin2 3778 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
2624, 25mpbi 218 . . . 4 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
27 0pval 23189 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
2827adantl 480 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
29 eqidd 2610 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3019, 9, 21, 23, 26, 28, 29ofrfval 6781 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
318, 12, 303bitr4d 298 . 2 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ 0𝑝𝑟𝐹))
323, 31biadan2 671 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539  {csn 4124   class class class wbr 4577   × cxp 5026   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑟 cofr 6772  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  +∞cpnf 9928  cle 9932  [,)cico 12007  0𝑝c0p 23187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-ofr 6774  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-ico 12011  df-0p 23188
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  23273  itg2addlem  23276  ftc1anclem8  32486
  Copyright terms: Public domain W3C validator