Theorem 0psubclN 35547

Description: The empty set is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
0psubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
0psubclN	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)

Proof of Theorem 0psubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4005	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾))
3		eqid 2651	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
4	3	2pol0N 35515	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)
5		eqid 2651	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
6		0psubcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	5, 3, 6	ispsubclN 35541	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∅ ∈ 𝐶 ↔ (∅ ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘∅)) = ∅)))
8	2, 4, 7	mpbir2and 977	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ‘cfv 5926  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  ⊥_𝑃cpolN 35506  PSubClcpscN 35538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-undef 7444  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-pmap 35108  df-polarityN 35507  df-psubclN 35539

This theorem is referenced by:  pclfinclN  35554