Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ring 19318
 Description: If a ring has only one element, it is the zero ring. According to Wikipedia ("Zero ring", 14-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_ring): "The zero ring, denoted {0} or simply 0, consists of the one-element set {0} with the operations + and * defined so that 0 + 0 = 0 and 0 * 0 = 0.". (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 0ring
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 0ring.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 18615 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
4 fvex 6239 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
51, 4eqeltri 2726 . . . . 5 𝐵 ∈ V
6 hashen1 13198 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ((#‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜)
8 en1eqsn 8231 . . . . 5 (( 0𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = { 0 })
98ex 449 . . . 4 ( 0𝐵 → (𝐵 ≈ 1𝑜𝐵 = { 0 }))
107, 9syl5bi 232 . . 3 ( 0𝐵 → ((#‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
113, 10syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
1211imp 444 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  1𝑜c1o 7598   ≈ cen 7994  1c1 9975  #chash 13157  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Ringcrg 18593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-ring 18595 This theorem is referenced by:  0ring01eq  19319  01eq0ring  19320  0ringdif  42195  lindsrng01  42582
 Copyright terms: Public domain W3C validator