MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0sdomg 8634
Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
0sdomg (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomg
StepHypRef Expression
1 0domg 8632 . . 3 (𝐴𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2 brsdom 8520 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
32baib 536 . . 3 (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
41, 3syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5 ensymb 8545 . . . 4 (∅ ≈ 𝐴𝐴 ≈ ∅)
6 en0 8560 . . . 4 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
75, 6bitri 276 . . 3 (∅ ≈ 𝐴𝐴 = ∅)
87necon3bbii 3060 . 2 (¬ ∅ ≈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
94, 8syl6bb 288 1 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  c0 4288   class class class wbr 5057  cen 8494  cdom 8495  csdm 8496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500
This theorem is referenced by:  0sdom  8636  fodomr  8656  pwdom  8657  sdom1  8706  infn0  8768  fodomfib  8786  domwdom  9026  iunfictbso  9528  djulepw  9606  fin45  9802  fodomb  9936  brdom3  9938  gchxpidm  10079  inar1  10185  csdfil  22430  ovoliunnul  24035  carsgclctunlem3  31477  domalom  34567  ovoliunnfl  34815  voliunnfl  34817  volsupnfl  34818  ensucne0OLD  39774  nnfoctb  41186  caragenunicl  42683
  Copyright terms: Public domain W3C validator