MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0sdomg 8040
Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
0sdomg (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem 0sdomg
StepHypRef Expression
1 0domg 8038 . . 3 (𝐴𝑉 → ∅ ≼ 𝐴)
2 brsdom 7929 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ (∅ ≼ 𝐴 ∧ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
32baib 943 . . 3 (∅ ≼ 𝐴 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
41, 3syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ ∅ ≈ 𝐴))
5 ensymb 7955 . . . 4 (∅ ≈ 𝐴𝐴 ≈ ∅)
6 en0 7970 . . . 4 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
75, 6bitri 264 . . 3 (∅ ≈ 𝐴𝐴 = ∅)
87necon3bbii 2837 . 2 (¬ ∅ ≈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
94, 8syl6bb 276 1 (𝐴𝑉 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3896   class class class wbr 4618  cen 7903  cdom 7904  csdm 7905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909
This theorem is referenced by:  0sdom  8042  fodomr  8062  pwdom  8063  sdom1  8111  infn0  8173  fodomfib  8191  domwdom  8430  iunfictbso  8888  cdalepw  8969  fin45  9165  fodomb  9299  brdom3  9301  gchxpidm  9442  inar1  9548  csdfil  21617  ovoliunnul  23194  carsgclctunlem3  30181  ovoliunnfl  33110  voliunnfl  33112  volsupnfl  33113  nnfoctb  38723  caragenunicl  40066
  Copyright terms: Public domain W3C validator