MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sgmppw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0sgmppw 24836
Description: A prime power 𝑃𝐾 has 𝐾 + 1 divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
0sgmppw ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃𝐾)) = (𝐾 + 1))

Proof of Theorem 0sgmppw
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 15319 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnexpcl 12820 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
31, 2sylan 488 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
4 0sgm 24783 . . . 4 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → (0 σ (𝑃𝐾)) = (#‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)}))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃𝐾)) = (#‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)}))
6 fzfid 12719 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0...𝐾) ∈ Fin)
7 nnex 10977 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
87rabex 4778 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)} ∈ V)
10 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃𝑛)) = (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃𝑛))
1110dvdsppwf1o 24825 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃𝑛)):(0...𝐾)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)})
12 f1oen2g 7923 . . . . 5 (((0...𝐾) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)} ∈ V ∧ (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃𝑛)):(0...𝐾)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)}) → (0...𝐾) ≈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)})
136, 9, 11, 12syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0...𝐾) ≈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)})
14 hasheni 13083 . . . 4 ((0...𝐾) ≈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)} → (#‘(0...𝐾)) = (#‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)}))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (#‘(0...𝐾)) = (#‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝐾)}))
165, 15eqtr4d 2658 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃𝐾)) = (#‘(0...𝐾)))
17 simpr 477 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18 nn0uz 11673 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
1917, 18syl6eleq 2708 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
20 hashfz 13161 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ‘0) → (#‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
2119, 20syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (#‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
22 nn0cn 11253 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2322adantl 482 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
2423subid1d 10332 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
2524oveq1d 6625 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 0) + 1) = (𝐾 + 1))
2616, 21, 253eqtrd 2659 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃𝐾)) = (𝐾 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3189   class class class wbr 4618  cmpt 4678  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  cen 7903  Fincfn 7906  cc 9885  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890  cmin 10217  cn 10971  0cn0 11243  cuz 11638  ...cfz 12275  cexp 12807  #chash 13064  cdvds 14914  cprime 15316   σ csgm 24735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-sin 14732  df-cos 14733  df-pi 14735  df-dvds 14915  df-gcd 15148  df-prm 15317  df-pc 15473  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550  df-log 24220  df-cxp 24221  df-sgm 24741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator