Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0spth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0spth 26847
 Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0pth.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0spth (𝐺𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0spth
StepHypRef Expression
1 0pth.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
210trl 26843 . . 3 (𝐺𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
32anbi1d 740 . 2 (𝐺𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃)))
4 isspth 26483 . 2 (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
5 fz0sn 12377 . . . . 5 (0...0) = {0}
65feq2i 5996 . . . 4 (𝑃:(0...0)⟶𝑉𝑃:{0}⟶𝑉)
7 c0ex 9979 . . . . . 6 0 ∈ V
87fsn2 6358 . . . . 5 (𝑃:{0}⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
9 funcnvsn 5896 . . . . . 6 Fun {⟨0, (𝑃‘0)⟩}
10 cnveq 5261 . . . . . . 7 (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩})
1110funeqd 5871 . . . . . 6 (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → (Fun 𝑃 ↔ Fun {⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
129, 11mpbiri 248 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → Fun 𝑃)
138, 12simplbiim 658 . . . 4 (𝑃:{0}⟶𝑉 → Fun 𝑃)
146, 13sylbi 207 . . 3 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → Fun 𝑃)
1514pm4.71i 663 . 2 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃))
163, 4, 153bitr4g 303 1 (𝐺𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∅c0 3896  {csn 4153  ⟨cop 4159   class class class wbr 4618  ◡ccnv 5078  Fun wfun 5844  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  ...cfz 12265  Vtxcvtx 25769  Trailsctrls 26450  SPathscspths 26472 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-wlks 26359  df-trls 26452  df-spths 26476 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator