Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0subg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0subg 17540
 Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
0subg.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
0subg (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 0subg.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 17371 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
43snssd 4309 . 2 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
5 fvex 6158 . . . . 5 (0g𝐺) ∈ V
62, 5eqeltri 2694 . . . 4 0 ∈ V
76snnz 4279 . . 3 { 0 } ≠ ∅
87a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ≠ ∅)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
101, 9, 2grplid 17373 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
113, 10mpdan 701 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
12 ovex 6632 . . . . 5 ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ V
1312elsn 4163 . . . 4 (( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
1411, 13sylibr 224 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
15 eqid 2621 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
162, 15grpinvid 17397 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
17 fvex 6158 . . . . 5 ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ V
1817elsn 4163 . . . 4 (((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
1916, 18sylibr 224 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
20 oveq1 6611 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ( 0 (+g𝐺)𝑏))
2120eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
2221ralbidv 2980 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
23 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑏 = 0 → ( 0 (+g𝐺)𝑏) = ( 0 (+g𝐺) 0 ))
2423eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑏 = 0 → (( 0 (+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
256, 24ralsn 4193 . . . . . 6 (∀𝑏 ∈ { 0 } ( 0 (+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
2622, 25syl6bb 276 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
27 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((invg𝐺)‘𝑎) = ((invg𝐺)‘ 0 ))
2827eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
2926, 28anbi12d 746 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })))
306, 29ralsn 4193 . . 3 (∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }) ↔ (( 0 (+g𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
3114, 19, 30sylanbrc 697 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))
321, 9, 15issubg2 17530 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝐺) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } (∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 }))))
334, 8, 31, 32mpbir3and 1243 1 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  {csn 4148  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  SubGrpcsubg 17509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512 This theorem is referenced by:  0nsg  17560  idressubgsymg  17751  pgp0  17932  slwn0  17951  lsm01  18005  lsm02  18006  dprdz  18350  dprdsn  18356  pgpfac1lem5  18399  tgptsmscls  21863
 Copyright terms: Public domain W3C validator