Theorem 10re 12120

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12102	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 11739	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 10643	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 10658	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 10659	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 10645	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 10658	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2911	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  9c9 11702  ;cdc 12101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-iota 6316  df-fv 6365  df-ov 7161  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-dec 12102

This theorem is referenced by:  8lt10  12233  7lt10  12234  6lt10  12235  5lt10  12236  4lt10  12237  3lt10  12238  2lt10  12239  1lt10  12240  0.999...  15239  bpoly4  15415  cnfldfun  20559  thlle  20843  bposlem4  25865  bposlem5  25866  dp2cl  30558  dp2lt10  30562  dp2lt  30563  dp2ltsuc  30564  dp2ltc  30565  dpfrac1  30570  dplti  30583  dpgti  30584  dpexpp1  30586  hgt750lem  31924  problem2  32911  bgoldbtbndlem1  43977  tgblthelfgott  43987  tgoldbach  43989