Theorem 11gbo 43947

Description: 11 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
11gbo	⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 11gbo

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5e11 12174	. . 3 ⊢ (6 + 5) = ;11
2		6even 43883	. . . 4 ⊢ 6 ∈ Even
3		5odd 43882	. . . 4 ⊢ 5 ∈ Odd
4		epoo 43875	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ Even ∧ 5 ∈ Odd ) → (6 + 5) ∈ Odd )
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . 3 ⊢ (6 + 5) ∈ Odd
6	1, 5	eqeltrri 2913	. 2 ⊢ ;11 ∈ Odd
7		3prm 16041	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
8		5prm 16445	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		3odd 43880	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ Odd
10	9, 9, 3	3pm3.2i 1335	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )
11		gbpart11 43942	. . . . 5 ⊢ ;11 = ((3 + 3) + 5)
12	10, 11	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))
13		eleq1 2903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 5 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
14	13	3anbi3d 1438	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 5 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )))
15		oveq2 7167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 5 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 5))
16	15	eqeq2d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 5 → (;11 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 3) + 5)))
17	14, 16	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 5 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))))
18	17	rspcev 3626	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 5))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
19	8, 12, 18	mp2an 690	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))
20		eleq1 2903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
21	20	3anbi1d 1436	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
22		oveq1 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
23	22	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
24	23	eqeq2d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
25	21, 24	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
26	25	rexbidv 3300	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
27		eleq1 2903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28	27	3anbi2d 1437	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
29		oveq2 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
30	29	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
31	30	eqeq2d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
32	28, 31	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
33	32	rexbidv 3300	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
34	26, 33	rspc2ev 3638	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
35	7, 7, 19, 34	mp3an 1457	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
36		isgbo 43925	. 2 ⊢ (;11 ∈ GoldbachOdd ↔ (;11 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ ;11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
37	6, 35, 36	mpbir2an 709	1 ⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3142  (class class class)co 7159  1c1 10541   + caddc 10543  3c3 11696  5c5 11698  6c6 11699  ;cdc 12101  ℙcprime 16018   Even ceven 43796   Odd codd 43797   GoldbachOdd cgbo 43919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-prm 16019  df-even 43798  df-odd 43799  df-gbo 43922

This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  43977