Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  11gboa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 11gboa 39999
Description: 11 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
11gboa 11 ∈ GoldbachOddALTV

Proof of Theorem 11gboa
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 6p5e11 11429 . . 3 (6 + 5) = 11
2 6even 39960 . . . 4 6 ∈ Even
3 5odd 39959 . . . 4 5 ∈ Odd
4 epoo 39952 . . . 4 ((6 ∈ Even ∧ 5 ∈ Odd ) → (6 + 5) ∈ Odd )
52, 3, 4mp2an 703 . . 3 (6 + 5) ∈ Odd
61, 5eqeltrri 2681 . 2 11 ∈ Odd
7 3prm 15187 . . 3 3 ∈ ℙ
8 5prm 15596 . . . 4 5 ∈ ℙ
9 3odd 39957 . . . . . 6 3 ∈ Odd
109, 9, 33pm3.2i 1231 . . . . 5 (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )
11 gbpart11 39994 . . . . 5 11 = ((3 + 3) + 5)
1210, 11pm3.2i 469 . . . 4 ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))
13 eleq1 2672 . . . . . . 7 (𝑟 = 5 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
14133anbi3d 1396 . . . . . 6 (𝑟 = 5 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )))
15 oveq2 6532 . . . . . . 7 (𝑟 = 5 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 5))
1615eqeq2d 2616 . . . . . 6 (𝑟 = 5 → (11 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 3) + 5)))
1714, 16anbi12d 742 . . . . 5 (𝑟 = 5 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))))
1817rspcev 3278 . . . 4 ((5 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
198, 12, 18mp2an 703 . . 3 𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))
20 eleq1 2672 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
21203anbi1d 1394 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
22 oveq1 6531 . . . . . . . 8 (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
2322oveq1d 6539 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
2423eqeq2d 2616 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → (11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
2521, 24anbi12d 742 . . . . 5 (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
2625rexbidv 3030 . . . 4 (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
27 eleq1 2672 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28273anbi2d 1395 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
29 oveq2 6532 . . . . . . . 8 (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
3029oveq1d 6539 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
3130eqeq2d 2616 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
3228, 31anbi12d 742 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3332rexbidv 3030 . . . 4 (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3426, 33rspc2ev 3291 . . 3 ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
357, 7, 19, 34mp3an 1415 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
36 isgboa 39977 . 2 (11 ∈ GoldbachOddALTV ↔ (11 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
376, 35, 36mpbir2an 956 1 11 ∈ GoldbachOddALTV
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2893  (class class class)co 6524  1c1 9790   + caddc 9792  3c3 10915  5c5 10917  6c6 10918  cdc 11322  cprime 15166   Even ceven 39877   Odd codd 39878   GoldbachOddALTV cgboa 39971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fz 12150  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-dvds 14765  df-prm 15167  df-even 39879  df-odd 39880  df-gboa 39974
This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  40023
  Copyright terms: Public domain W3C validator