MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 15560
Description: Lemma for 1259prm 15565. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11063 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11064 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11252 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11067 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11252 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 10947 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11258 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2588 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 10940 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 11068 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 11252 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 11129 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 11070 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 11252 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 11065 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11252 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 11252 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 11252 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11143 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 12616 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2514 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 11059 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 10846 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 11394 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 9802 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 11071 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2514 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 11066 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 11069 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 11252 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2514 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 11062 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 11262 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2514 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 10853 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addid2i 9975 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 6436 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 10909 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2536 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 10859 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 10857 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 11348 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 9979 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 11312 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 11252 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2514 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 11262 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2514 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addid2i 9975 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 6436 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 10906 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2536 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 10855 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 11340 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 9979 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 11312 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 11256 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2514 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 11059 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 10850 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 11293 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 9979 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulid1i 9797 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 10888 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 6438 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 10910 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2536 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulid1i 9797 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 6436 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 10915 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 9979 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2540 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 11306 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 11262 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 11374 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 9962 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 6438 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 11293 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2536 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 10932 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 6436 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2540 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 11306 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 11308 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 11379 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 11275 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 9802 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addid2i 9975 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 11319 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 11317 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 11308 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 10863 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 11406 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 9802 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 10920 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 11319 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 11403 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 9802 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 10889 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 11358 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 11320 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 11317 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 11308 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 15519 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2514 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2514 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 15505 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2542 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 15495 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 10911 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2514 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 11275 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 11059 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addid2i 9975 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 10785 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 9976 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 6436 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 11381 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 11275 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 11327 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2546 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 15496 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  (class class class)co 6426  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   · cmul 9696  cn 10775  2c2 10825  3c3 10826  4c4 10827  5c5 10828  6c6 10829  7c7 10830  8c8 10831  9c9 10832  cdc 11233   mod cmo 12398  cexp 12590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-sup 8107  df-inf 8108  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-rp 11575  df-fl 12323  df-mod 12399  df-seq 12532  df-exp 12591
This theorem is referenced by:  1259lem2  15561  1259lem4  15563
  Copyright terms: Public domain W3C validator