Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 15819
 Description: Lemma for 1259prm 15824. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11293 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11294 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11497 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11297 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11497 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11177 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11503 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2695 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11170 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 11298 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 11497 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 11373 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 11300 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 11497 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 11295 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11497 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 11497 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 11497 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11387 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 12869 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2620 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 11289 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 11076 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 11639 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 10032 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 11301 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2620 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 11296 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 11299 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 11497 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2620 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 11292 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 11507 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2620 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 11083 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addid2i 10209 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 6645 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 11139 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2642 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 11089 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 11087 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 11593 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 10213 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 11557 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 11497 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2620 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 11507 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2620 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addid2i 10209 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 6645 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 11136 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2642 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 11085 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 11585 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 10213 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 11557 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 11501 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2620 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 11289 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 11080 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 11538 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 10213 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulid1i 10027 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 11118 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 6647 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 11140 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2642 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulid1i 10027 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 6645 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 11145 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 10213 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2646 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 11551 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 11507 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 11619 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 10196 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 6647 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 11538 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2642 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 11162 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 6645 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2646 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 11551 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 11553 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 11624 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 11520 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 10032 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addid2i 10209 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 11564 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 11562 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 11553 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 11093 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 11651 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 10032 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 11150 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 11564 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 11648 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 10032 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 11119 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 11603 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 11565 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 11562 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 11553 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 15778 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2620 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2620 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 15764 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2648 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 15754 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 11141 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2620 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 11520 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 11289 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addid2i 10209 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 11015 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 10210 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 6645 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 11626 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 11520 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 11572 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2652 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 15755 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1481  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  ℕcn 11005  2c2 11055  3c3 11056  4c4 11057  5c5 11058  6c6 11059  7c7 11060  8c8 11061  9c9 11062  ;cdc 11478   mod cmo 12651  ↑cexp 12843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844 This theorem is referenced by:  1259lem2  15820  1259lem4  15822
 Copyright terms: Public domain W3C validator