MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem2 15763
Description: Lemma for 1259prm 15767. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑34 = (2↑17)↑2≡136↑2≡14𝑁 + 870. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem2 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem2
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11252 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11253 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11456 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11256 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11456 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11136 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11462 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2694 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11129 . 2 2 ∈ ℕ
11 7nn0 11258 . . 3 7 ∈ ℕ0
122, 11deccl 11456 . 2 17 ∈ ℕ0
13 4nn0 11255 . . . 4 4 ∈ ℕ0
142, 13deccl 11456 . . 3 14 ∈ ℕ0
1514nn0zi 11346 . 2 14 ∈ ℤ
16 3nn0 11254 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11456 . . 3 13 ∈ ℕ0
18 6nn0 11257 . . 3 6 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 11456 . 2 136 ∈ ℕ0
20 8nn0 11259 . . . 4 8 ∈ ℕ0
2120, 11deccl 11456 . . 3 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 11251 . . 3 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11456 . 2 870 ∈ ℕ0
2411259lem1 15762 . 2 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
25 eqid 2621 . . 3 17 = 17
26 2cn 11035 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2726mulid1i 9986 . . . . 5 (2 · 1) = 2
2827oveq1i 6614 . . . 4 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
29 2p1e3 11095 . . . 4 (2 + 1) = 3
3028, 29eqtri 2643 . . 3 ((2 · 1) + 1) = 3
31 7cn 11048 . . . 4 7 ∈ ℂ
32 7t2e14 11592 . . . 4 (7 · 2) = 14
3331, 26, 32mulcomli 9991 . . 3 (2 · 7) = 14
343, 2, 11, 25, 13, 2, 30, 33decmul2c 11533 . 2 (2 · 17) = 34
35 9nn0 11260 . . . 4 9 ∈ ℕ0
36 eqid 2621 . . . 4 870 = 870
37 eqid 2621 . . . . 5 125 = 125
38 eqid 2621 . . . . . 6 87 = 87
39 eqid 2621 . . . . . 6 12 = 12
40 8p1e9 11102 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
41 7p2e9 11116 . . . . . 6 (7 + 2) = 9
4220, 11, 2, 3, 38, 39, 40, 41decadd 11514 . . . . 5 (87 + 12) = 99
43 9p7e16 11569 . . . . . 6 (9 + 7) = 16
44 eqid 2621 . . . . . . 7 14 = 14
45 3cn 11039 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
46 ax-1cn 9938 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
47 3p1e4 11097 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4845, 46, 47addcomli 10172 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
4913dec0h 11466 . . . . . . . 8 4 = 04
5048, 49eqtri 2643 . . . . . . 7 (1 + 3) = 04
5146mulid1i 9986 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
52 00id 10155 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
5351, 52oveq12i 6616 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
5446addid1i 10167 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
5553, 54eqtri 2643 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
56 4cn 11042 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
5756mulid1i 9986 . . . . . . . . 9 (4 · 1) = 4
5857oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 4) = (4 + 4)
59 4p4e8 11108 . . . . . . . 8 (4 + 4) = 8
6020dec0h 11466 . . . . . . . 8 8 = 08
6158, 59, 603eqtri 2647 . . . . . . 7 ((4 · 1) + 4) = 08
622, 13, 22, 13, 44, 50, 2, 20, 22, 55, 61decmac 11510 . . . . . 6 ((14 · 1) + (1 + 3)) = 18
6318dec0h 11466 . . . . . . 7 6 = 06
6426mulid2i 9987 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
6546addid2i 10168 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
6664, 65oveq12i 6616 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
6766, 29eqtri 2643 . . . . . . 7 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
68 4t2e8 11125 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
6968oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 6) = (8 + 6)
70 8p6e14 11560 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
7169, 70eqtri 2643 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 6) = 14
722, 13, 22, 18, 44, 63, 3, 13, 2, 67, 71decmac 11510 . . . . . 6 ((14 · 2) + 6) = 34
732, 3, 2, 18, 39, 43, 14, 13, 16, 62, 72decma2c 11512 . . . . 5 ((14 · 12) + (9 + 7)) = 184
7435dec0h 11466 . . . . . 6 9 = 09
75 5cn 11044 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
7675mulid2i 9987 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
7726addid2i 10168 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7876, 77oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((1 · 5) + (0 + 2)) = (5 + 2)
79 5p2e7 11109 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
8078, 79eqtri 2643 . . . . . 6 ((1 · 5) + (0 + 2)) = 7
81 5t4e20 11581 . . . . . . . 8 (5 · 4) = 20
8275, 56, 81mulcomli 9991 . . . . . . 7 (4 · 5) = 20
83 9cn 11052 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
8483addid2i 10168 . . . . . . 7 (0 + 9) = 9
853, 22, 35, 82, 84decaddi 11523 . . . . . 6 ((4 · 5) + 9) = 29
862, 13, 22, 35, 44, 74, 5, 35, 3, 80, 85decmac 11510 . . . . 5 ((14 · 5) + 9) = 79
874, 5, 35, 35, 37, 42, 14, 35, 11, 73, 86decma2c 11512 . . . 4 ((14 · 125) + (87 + 12)) = 1849
8883mulid2i 9987 . . . . . . . . 9 (1 · 9) = 9
8988oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 3) = (9 + 3)
90 9p3e12 11565 . . . . . . . 8 (9 + 3) = 12
9189, 90eqtri 2643 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 3) = 12
92 9t4e36 11609 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
9383, 56, 92mulcomli 9991 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
9435, 2, 13, 44, 18, 16, 91, 93decmul1c 11531 . . . . . 6 (14 · 9) = 126
9594oveq1i 6614 . . . . 5 ((14 · 9) + 0) = (126 + 0)
964, 18deccl 11456 . . . . . . 7 126 ∈ ℕ0
9796nn0cni 11248 . . . . . 6 126 ∈ ℂ
9897addid1i 10167 . . . . 5 (126 + 0) = 126
9995, 98eqtri 2643 . . . 4 ((14 · 9) + 0) = 126
1006, 35, 21, 22, 1, 36, 14, 18, 4, 87, 99decma2c 11512 . . 3 ((14 · 𝑁) + 870) = 18496
101 eqid 2621 . . . 4 136 = 136
10220, 2deccl 11456 . . . 4 81 ∈ ℕ0
103 eqid 2621 . . . . 5 13 = 13
104 eqid 2621 . . . . 5 81 = 81
10513, 22deccl 11456 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
106 eqid 2621 . . . . . . 7 40 = 40
10756addid2i 10168 . . . . . . 7 (0 + 4) = 4
108 8cn 11050 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109108addid1i 10167 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
11022, 20, 13, 22, 60, 106, 107, 109decadd 11514 . . . . . 6 (8 + 40) = 48
111 4p1e5 11098 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
1125dec0h 11466 . . . . . . . 8 5 = 05
113111, 112eqtri 2643 . . . . . . 7 (4 + 1) = 05
11445mulid1i 9986 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
115114oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((3 · 1) + 5) = (3 + 5)
116 5p3e8 11110 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
11775, 45, 116addcomli 10172 . . . . . . . 8 (3 + 5) = 8
118115, 117, 603eqtri 2647 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 5) = 08
1192, 16, 22, 5, 103, 113, 2, 20, 22, 55, 118decmac 11510 . . . . . 6 ((13 · 1) + (4 + 1)) = 18
120 6cn 11046 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
121120mulid1i 9986 . . . . . . . 8 (6 · 1) = 6
122121oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((6 · 1) + 8) = (6 + 8)
123108, 120, 70addcomli 10172 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
124122, 123eqtri 2643 . . . . . 6 ((6 · 1) + 8) = 14
12517, 18, 13, 20, 101, 110, 2, 13, 2, 119, 124decmac 11510 . . . . 5 ((136 · 1) + (8 + 40)) = 184
1262dec0h 11466 . . . . . 6 1 = 01
12765, 126eqtri 2643 . . . . . . 7 (0 + 1) = 01
12845mulid2i 9987 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
129128, 65oveq12i 6616 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
130129, 47eqtri 2643 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
131 3t3e9 11124 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
132131oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
133 9p1e10 11440 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
134132, 133eqtri 2643 . . . . . . 7 ((3 · 3) + 1) = 10
1352, 16, 22, 2, 103, 127, 16, 22, 2, 130, 134decmac 11510 . . . . . 6 ((13 · 3) + (0 + 1)) = 40
136 6t3e18 11586 . . . . . . 7 (6 · 3) = 18
1372, 20, 2, 136, 40decaddi 11523 . . . . . 6 ((6 · 3) + 1) = 19
13817, 18, 22, 2, 101, 126, 16, 35, 2, 135, 137decmac 11510 . . . . 5 ((136 · 3) + 1) = 409
1392, 16, 20, 2, 103, 104, 19, 35, 105, 125, 138decma2c 11512 . . . 4 ((136 · 13) + 81) = 1849
14016dec0h 11466 . . . . . 6 3 = 03
141120mulid2i 9987 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
142141, 77oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
143 6p2e8 11113 . . . . . . 7 (6 + 2) = 8
144142, 143eqtri 2643 . . . . . 6 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
145120, 45, 136mulcomli 9991 . . . . . . 7 (3 · 6) = 18
146 1p1e2 11078 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
147 8p3e11 11556 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
1482, 20, 16, 145, 146, 2, 147decaddci 11524 . . . . . 6 ((3 · 6) + 3) = 21
1492, 16, 22, 16, 103, 140, 18, 2, 3, 144, 148decmac 11510 . . . . 5 ((13 · 6) + 3) = 81
150 6t6e36 11590 . . . . 5 (6 · 6) = 36
15118, 17, 18, 101, 18, 16, 149, 150decmul1c 11531 . . . 4 (136 · 6) = 816
15219, 17, 18, 101, 18, 102, 139, 151decmul2c 11533 . . 3 (136 · 136) = 18496
153100, 152eqtr4i 2646 . 2 ((14 · 𝑁) + 870) = (136 · 136)
1549, 10, 12, 15, 19, 23, 24, 34, 153mod2xi 15697 1 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  cdc 11437   mod cmo 12608  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  1259lem3  15764  1259lem5  15766
  Copyright terms: Public domain W3C validator