Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem2 16037
 Description: Lemma for 1259prm 16041. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑34 = (2↑17)↑2≡136↑2≡14𝑁 + 870. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem2 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem2
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11496 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11497 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11700 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11500 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11700 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11380 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11706 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2831 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11373 . 2 2 ∈ ℕ
11 7nn0 11502 . . 3 7 ∈ ℕ0
122, 11deccl 11700 . 2 17 ∈ ℕ0
13 4nn0 11499 . . . 4 4 ∈ ℕ0
142, 13deccl 11700 . . 3 14 ∈ ℕ0
1514nn0zi 11590 . 2 14 ∈ ℤ
16 3nn0 11498 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11700 . . 3 13 ∈ ℕ0
18 6nn0 11501 . . 3 6 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 11700 . 2 136 ∈ ℕ0
20 8nn0 11503 . . . 4 8 ∈ ℕ0
2120, 11deccl 11700 . . 3 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 11495 . . 3 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11700 . 2 870 ∈ ℕ0
2411259lem1 16036 . 2 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
25 eqid 2756 . . 3 17 = 17
26 2cn 11279 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2726mulid1i 10230 . . . . 5 (2 · 1) = 2
2827oveq1i 6819 . . . 4 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
29 2p1e3 11339 . . . 4 (2 + 1) = 3
3028, 29eqtri 2778 . . 3 ((2 · 1) + 1) = 3
31 7cn 11292 . . . 4 7 ∈ ℂ
32 7t2e14 11836 . . . 4 (7 · 2) = 14
3331, 26, 32mulcomli 10235 . . 3 (2 · 7) = 14
343, 2, 11, 25, 13, 2, 30, 33decmul2c 11777 . 2 (2 · 17) = 34
35 9nn0 11504 . . . 4 9 ∈ ℕ0
36 eqid 2756 . . . 4 870 = 870
37 eqid 2756 . . . . 5 125 = 125
38 eqid 2756 . . . . . 6 87 = 87
39 eqid 2756 . . . . . 6 12 = 12
40 8p1e9 11346 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
41 7p2e9 11360 . . . . . 6 (7 + 2) = 9
4220, 11, 2, 3, 38, 39, 40, 41decadd 11758 . . . . 5 (87 + 12) = 99
43 9p7e16 11813 . . . . . 6 (9 + 7) = 16
44 eqid 2756 . . . . . . 7 14 = 14
45 3cn 11283 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
46 ax-1cn 10182 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
47 3p1e4 11341 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4845, 46, 47addcomli 10416 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
4913dec0h 11710 . . . . . . . 8 4 = 04
5048, 49eqtri 2778 . . . . . . 7 (1 + 3) = 04
5146mulid1i 10230 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
52 00id 10399 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
5351, 52oveq12i 6821 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
5446addid1i 10411 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
5553, 54eqtri 2778 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
56 4cn 11286 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
5756mulid1i 10230 . . . . . . . . 9 (4 · 1) = 4
5857oveq1i 6819 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 4) = (4 + 4)
59 4p4e8 11352 . . . . . . . 8 (4 + 4) = 8
6020dec0h 11710 . . . . . . . 8 8 = 08
6158, 59, 603eqtri 2782 . . . . . . 7 ((4 · 1) + 4) = 08
622, 13, 22, 13, 44, 50, 2, 20, 22, 55, 61decmac 11754 . . . . . 6 ((14 · 1) + (1 + 3)) = 18
6318dec0h 11710 . . . . . . 7 6 = 06
6426mulid2i 10231 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
6546addid2i 10412 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
6664, 65oveq12i 6821 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
6766, 29eqtri 2778 . . . . . . 7 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
68 4t2e8 11369 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
6968oveq1i 6819 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 6) = (8 + 6)
70 8p6e14 11804 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
7169, 70eqtri 2778 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 6) = 14
722, 13, 22, 18, 44, 63, 3, 13, 2, 67, 71decmac 11754 . . . . . 6 ((14 · 2) + 6) = 34
732, 3, 2, 18, 39, 43, 14, 13, 16, 62, 72decma2c 11756 . . . . 5 ((14 · 12) + (9 + 7)) = 184
7435dec0h 11710 . . . . . 6 9 = 09
75 5cn 11288 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
7675mulid2i 10231 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
7726addid2i 10412 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7876, 77oveq12i 6821 . . . . . . 7 ((1 · 5) + (0 + 2)) = (5 + 2)
79 5p2e7 11353 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
8078, 79eqtri 2778 . . . . . 6 ((1 · 5) + (0 + 2)) = 7
81 5t4e20 11825 . . . . . . . 8 (5 · 4) = 20
8275, 56, 81mulcomli 10235 . . . . . . 7 (4 · 5) = 20
83 9cn 11296 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
8483addid2i 10412 . . . . . . 7 (0 + 9) = 9
853, 22, 35, 82, 84decaddi 11767 . . . . . 6 ((4 · 5) + 9) = 29
862, 13, 22, 35, 44, 74, 5, 35, 3, 80, 85decmac 11754 . . . . 5 ((14 · 5) + 9) = 79
874, 5, 35, 35, 37, 42, 14, 35, 11, 73, 86decma2c 11756 . . . 4 ((14 · 125) + (87 + 12)) = 1849
8883mulid2i 10231 . . . . . . . . 9 (1 · 9) = 9
8988oveq1i 6819 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 3) = (9 + 3)
90 9p3e12 11809 . . . . . . . 8 (9 + 3) = 12
9189, 90eqtri 2778 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 3) = 12
92 9t4e36 11853 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
9383, 56, 92mulcomli 10235 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
9435, 2, 13, 44, 18, 16, 91, 93decmul1c 11775 . . . . . 6 (14 · 9) = 126
9594oveq1i 6819 . . . . 5 ((14 · 9) + 0) = (126 + 0)
964, 18deccl 11700 . . . . . . 7 126 ∈ ℕ0
9796nn0cni 11492 . . . . . 6 126 ∈ ℂ
9897addid1i 10411 . . . . 5 (126 + 0) = 126
9995, 98eqtri 2778 . . . 4 ((14 · 9) + 0) = 126
1006, 35, 21, 22, 1, 36, 14, 18, 4, 87, 99decma2c 11756 . . 3 ((14 · 𝑁) + 870) = 18496
101 eqid 2756 . . . 4 136 = 136
10220, 2deccl 11700 . . . 4 81 ∈ ℕ0
103 eqid 2756 . . . . 5 13 = 13
104 eqid 2756 . . . . 5 81 = 81
10513, 22deccl 11700 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
106 eqid 2756 . . . . . . 7 40 = 40
10756addid2i 10412 . . . . . . 7 (0 + 4) = 4
108 8cn 11294 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109108addid1i 10411 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
11022, 20, 13, 22, 60, 106, 107, 109decadd 11758 . . . . . 6 (8 + 40) = 48
111 4p1e5 11342 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
1125dec0h 11710 . . . . . . . 8 5 = 05
113111, 112eqtri 2778 . . . . . . 7 (4 + 1) = 05
11445mulid1i 10230 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
115114oveq1i 6819 . . . . . . . 8 ((3 · 1) + 5) = (3 + 5)
116 5p3e8 11354 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
11775, 45, 116addcomli 10416 . . . . . . . 8 (3 + 5) = 8
118115, 117, 603eqtri 2782 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 5) = 08
1192, 16, 22, 5, 103, 113, 2, 20, 22, 55, 118decmac 11754 . . . . . 6 ((13 · 1) + (4 + 1)) = 18
120 6cn 11290 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
121120mulid1i 10230 . . . . . . . 8 (6 · 1) = 6
122121oveq1i 6819 . . . . . . 7 ((6 · 1) + 8) = (6 + 8)
123108, 120, 70addcomli 10416 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
124122, 123eqtri 2778 . . . . . 6 ((6 · 1) + 8) = 14
12517, 18, 13, 20, 101, 110, 2, 13, 2, 119, 124decmac 11754 . . . . 5 ((136 · 1) + (8 + 40)) = 184
1262dec0h 11710 . . . . . 6 1 = 01
12765, 126eqtri 2778 . . . . . . 7 (0 + 1) = 01
12845mulid2i 10231 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
129128, 65oveq12i 6821 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
130129, 47eqtri 2778 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
131 3t3e9 11368 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
132131oveq1i 6819 . . . . . . . 8 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
133 9p1e10 11684 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
134132, 133eqtri 2778 . . . . . . 7 ((3 · 3) + 1) = 10
1352, 16, 22, 2, 103, 127, 16, 22, 2, 130, 134decmac 11754 . . . . . 6 ((13 · 3) + (0 + 1)) = 40
136 6t3e18 11830 . . . . . . 7 (6 · 3) = 18
1372, 20, 2, 136, 40decaddi 11767 . . . . . 6 ((6 · 3) + 1) = 19
13817, 18, 22, 2, 101, 126, 16, 35, 2, 135, 137decmac 11754 . . . . 5 ((136 · 3) + 1) = 409
1392, 16, 20, 2, 103, 104, 19, 35, 105, 125, 138decma2c 11756 . . . 4 ((136 · 13) + 81) = 1849
14016dec0h 11710 . . . . . 6 3 = 03
141120mulid2i 10231 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
142141, 77oveq12i 6821 . . . . . . 7 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
143 6p2e8 11357 . . . . . . 7 (6 + 2) = 8
144142, 143eqtri 2778 . . . . . 6 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
145120, 45, 136mulcomli 10235 . . . . . . 7 (3 · 6) = 18
146 1p1e2 11322 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
147 8p3e11 11800 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
1482, 20, 16, 145, 146, 2, 147decaddci 11768 . . . . . 6 ((3 · 6) + 3) = 21
1492, 16, 22, 16, 103, 140, 18, 2, 3, 144, 148decmac 11754 . . . . 5 ((13 · 6) + 3) = 81
150 6t6e36 11834 . . . . 5 (6 · 6) = 36
15118, 17, 18, 101, 18, 16, 149, 150decmul1c 11775 . . . 4 (136 · 6) = 816
15219, 17, 18, 101, 18, 102, 139, 151decmul2c 11777 . . 3 (136 · 136) = 18496
153100, 152eqtr4i 2781 . 2 ((14 · 𝑁) + 870) = (136 · 136)
1549, 10, 12, 15, 19, 23, 24, 34, 153mod2xi 15971 1 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1628  (class class class)co 6809  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  ℕcn 11208  2c2 11258  3c3 11259  4c4 11260  5c5 11261  6c6 11262  7c7 11263  8c8 11264  9c9 11265  ;cdc 11681   mod cmo 12858  ↑cexp 13050 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051 This theorem is referenced by:  1259lem3  16038  1259lem5  16040
 Copyright terms: Public domain W3C validator