MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 16454
Description: Lemma for 1259prm 16457. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11901 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11902 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12101 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11905 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12101 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11723 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12106 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2906 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11698 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 11903 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 11908 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12101 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 12004 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 11907 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 12101 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 11904 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 12101 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 12101 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11995 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 12101 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 11900 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12101 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 11906 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 12101 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 16453 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 16409 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 7155 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2818 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 11780 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 12146 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 11909 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2818 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 12104 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2818 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 11897 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 11719 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 12129 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 10820 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 12101 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 11897 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mulid2i 10634 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 12108 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2818 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 11747 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 11706 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 10583 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 11770 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 10820 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 12140 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 11767 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2818 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 12117 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 11783 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 12140 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 11713 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 12163 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 10820 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 12147 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 12138 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 12088 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 11725 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 11897 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 12216 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 10638 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 12127 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 12139 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2818 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 12101 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 12101 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2818 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2818 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2818 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 11897 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addid1i 10815 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 11722 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulid1i 10633 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addid1i 10815 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 7157 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 12169 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2841 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulid1i 10633 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 11786 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 12108 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2845 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 12138 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 10817 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addid2i 10816 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 12108 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2845 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 12138 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 12205 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 11771 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 12168 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 12147 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 12199 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 12151 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 11716 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 10817 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 100, 102decmul1 12150 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 12152 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2844 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 16392 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2818 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 11791 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 10638 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 7155 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 11773 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2841 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 12201 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 10638 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 12152 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 12108 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2818 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 11710 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addid2i 10816 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 12108 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2841 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2841 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulid1i 10633 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 7157 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2841 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 11793 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 12166 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2841 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 12139 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 12188 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 10638 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 12146 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 12139 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 12210 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 10638 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 12159 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 12147 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 12139 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 12200 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 12127 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mulid2i 10634 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 7155 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 12165 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2841 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 12144 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 11897 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulid1i 10633 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 12152 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2844 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 16393 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  cdc 12086   mod cmo 13225  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  1259lem4  16455
  Copyright terms: Public domain W3C validator