MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 15771
Description: Lemma for 1259prm 15774. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11259 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11260 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11463 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11263 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11463 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11143 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11469 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2694 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11136 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 11261 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 11266 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 11463 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 11362 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 11265 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 11463 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 11262 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 11463 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 11463 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11353 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 11463 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 11258 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11463 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 11264 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 11463 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 15770 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 15725 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 6620 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2621 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 11115 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 11530 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 11267 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2621 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 11467 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2621 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 11255 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 11055 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 11504 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 10179 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 11463 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 11255 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mulid2i 9994 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 11473 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2621 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 11083 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 11046 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 9945 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 11104 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 10179 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 11521 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 11102 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2621 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 11486 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 11118 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 11521 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 11051 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 11558 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 10179 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 11531 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 11517 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 11447 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 11059 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 11255 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 11622 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 9998 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 11501 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 11519 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2621 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 11463 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 11463 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2621 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2621 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2621 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 11255 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addid1i 10174 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 11057 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulid1i 9993 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addid1i 10174 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 6622 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 11566 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2643 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulid1i 9993 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 6620 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 11123 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 11473 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2647 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 11517 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 10176 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 11042 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addid2i 10175 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 11473 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2647 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 11517 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 11610 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 11105 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 11565 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 11531 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 11603 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 11538 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 11053 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 10176 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 22, 100, 102decmul1 11536 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 11540 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2646 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 15703 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2621 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 11130 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 9998 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 6620 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 11107 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2643 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 11605 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 9998 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 11540 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 11473 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2621 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 11049 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 11473 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2643 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2643 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulid1i 9993 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 6622 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2643 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 11132 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 11561 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2643 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 11519 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 11588 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 9998 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 11530 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 11519 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 11616 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 9998 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 11551 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 11531 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 11519 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 11604 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 11501 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mulid2i 9994 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 6620 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 11560 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2643 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 11528 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 11255 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulid1i 9993 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 11540 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2646 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 15704 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cn 10971  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  7c7 11026  8c8 11027  9c9 11028  cdc 11444   mod cmo 12615  cexp 12807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808
This theorem is referenced by:  1259lem4  15772
  Copyright terms: Public domain W3C validator