MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 16064
Description: Lemma for 1259prm 16065. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 11397 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 11522 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 11523 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11724 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13087 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 710 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11546 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 11527 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 11525 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11724 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 11528 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 11724 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 11520 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 11521 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 11724 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 11524 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 11724 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 11404 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 11730 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 16061 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 11368 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2760 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 11747 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2760 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 11762 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 15998 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 11724 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 11519 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 11724 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 11724 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 11724 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 11724 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 11614 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 11614 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 15457 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 710 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 11398 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 11730 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 11403 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 11734 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulid1i 10254 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addid2i 10436 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 6826 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 11346 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulid1i 10254 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 11318 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 11824 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 10440 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 11778 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 11243 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 11886 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 11758 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 15358 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 16045 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 15645 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 710 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 220 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2782 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2760 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 11303 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mulid2i 10255 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addid1i 10435 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 6826 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 11363 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2782 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 6824 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 11365 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 10440 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 11734 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2786 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 11780 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 15999 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2760 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 11391 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 10259 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addid1i 10435 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 6826 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 11381 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2782 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 11310 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 11393 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 10259 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 11370 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 11734 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2786 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 11780 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 15999 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2760 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 11375 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 10440 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 6825 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 11526 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 11868 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 10259 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 11316 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 11384 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 10440 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 11791 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2782 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 11320 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 11877 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 10259 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 11810 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 11793 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 11780 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 15999 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2760 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2760 . . . . . 6 39 = 39
11954addid1i 10435 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2782 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addid2i 10436 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 6826 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2782 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 11875 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 10259 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 11830 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 11792 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 11780 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 11395 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 6824 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addid2i 10436 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2786 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 11780 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 15999 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 11516 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addid1i 10435 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mulid2i 10255 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 6826 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 11826 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2782 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 11314 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mulid2i 10255 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 6824 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 11836 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 10440 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2782 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 11780 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mulid2i 10255 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 6824 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addid1i 10435 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2786 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 11780 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2785 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 15999 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 16000 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478  cn 11232  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  6c6 11286  7c7 11287  8c8 11288  9c9 11289  0cn0 11504  cz 11589  cdc 11705  cexp 13074  cdvds 15202   gcd cgcd 15438  cprime 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608
This theorem is referenced by:  1259prm  16065
  Copyright terms: Public domain W3C validator