MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 15766
Description: Lemma for 1259prm 15767. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 11129 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 11254 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 11255 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11456 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 12813 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 707 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11278 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 11259 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 11257 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11456 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 11260 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 11456 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 11252 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 11253 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 11456 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 11256 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 11456 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 11136 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 11462 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2694 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 15763 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 11100 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2621 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 11479 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2621 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 11494 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 15700 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 11456 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 11251 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 11456 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 11456 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 11456 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 11456 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 11346 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 11346 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 15159 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 707 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 11130 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 11462 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 11135 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 11466 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulid1i 9986 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addid2i 10168 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 6616 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 11078 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 11039 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulid1i 9986 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 11050 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 11556 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 10172 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 11510 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 10975 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 11618 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 11490 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 15060 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 15747 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 15347 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 707 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 220 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2643 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2621 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 11035 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mulid2i 9987 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addid1i 10167 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 6616 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 11095 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 11097 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 10172 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 11466 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2647 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 11512 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 15701 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2621 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 11123 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 9991 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addid1i 10167 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 6616 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 11113 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2643 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 11042 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 11125 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 9991 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 11102 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 11466 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2647 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 11512 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 15701 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2621 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 11107 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 10172 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 6615 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 11258 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 11600 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 9991 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 11048 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 11116 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 10172 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 11523 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2643 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 11052 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 11609 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 9991 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 11542 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 11525 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 11512 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 15701 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2621 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2621 . . . . . 6 39 = 39
11954addid1i 10167 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2643 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addid2i 10168 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 11607 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 9991 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 11562 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 11524 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 11512 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 11127 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 6614 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addid2i 10168 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2647 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 11512 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 15701 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 11248 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addid1i 10167 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mulid2i 9987 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 11558 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2643 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 11046 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mulid2i 9987 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 11568 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 10172 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2643 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 11512 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mulid2i 9987 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 6614 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addid1i 10167 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2647 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 11512 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2646 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 15701 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 15702 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  0cn0 11236  cz 11321  cdc 11437  cexp 12800  cdvds 14907   gcd cgcd 15140  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  1259prm  15767
  Copyright terms: Public domain W3C validator