MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259prm 16457
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 16442 . 2 37 ∈ ℙ
2 3nn0 11903 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 4nn 11708 . . 3 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12106 . 2 34 ∈ ℕ
5 1nn0 11901 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 11902 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
75, 6deccl 12101 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ0
8 5nn0 11905 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12101 . . . . . 6 125 ∈ ℕ0
10 8nn0 11908 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12101 . . . . 5 1258 ∈ ℕ0
1211nn0cni 11897 . . . 4 1258 ∈ ℂ
13 ax-1cn 10583 . . . 4 1 ∈ ℂ
14 1259prm.1 . . . . 5 𝑁 = 1259
15 eqid 2818 . . . . . 6 1258 = 1258
16 8p1e9 11775 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
179, 10, 5, 15, 16decaddi 12146 . . . . 5 (1258 + 1) = 1259
1814, 17eqtr4i 2844 . . . 4 𝑁 = (1258 + 1)
1912, 13, 18mvrraddi 10891 . . 3 (𝑁 − 1) = 1258
20 4nn0 11904 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
212, 20deccl 12101 . . . 4 34 ∈ ℕ0
22 7nn0 11907 . . . 4 7 ∈ ℕ0
23 eqid 2818 . . . 4 37 = 37
246, 2deccl 12101 . . . 4 23 ∈ ℕ0
25 eqid 2818 . . . . 5 34 = 34
26 eqid 2818 . . . . 5 23 = 23
27 3t3e9 11792 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
28 2p1e3 11767 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
2927, 28oveq12i 7157 . . . . . 6 ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
30 9p3e12 12174 . . . . . 6 (9 + 3) = 12
3129, 30eqtri 2841 . . . . 5 ((3 · 3) + (2 + 1)) = 12
32 4t3e12 12184 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
33 3cn 11706 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 2cn 11700 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
35 3p2e5 11776 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
3633, 34, 35addcomli 10820 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
375, 6, 2, 32, 36decaddi 12146 . . . . 5 ((4 · 3) + 3) = 15
382, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37decmac 12138 . . . 4 ((34 · 3) + 23) = 125
39 7cn 11719 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
40 7t3e21 12196 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4139, 33, 40mulcomli 10638 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
42 1p2e3 11768 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
436, 5, 6, 41, 42decaddi 12146 . . . . 5 ((3 · 7) + 2) = 23
44 4cn 11710 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
45 7t4e28 12197 . . . . . 6 (7 · 4) = 28
4639, 44, 45mulcomli 10638 . . . . 5 (4 · 7) = 28
4722, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46decmul1c 12151 . . . 4 (34 · 7) = 238
4821, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47decmul2c 12152 . . 3 (34 · 37) = 1258
4919, 48eqtr4i 2844 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · 37)
50 9nn0 11909 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
519, 50deccl 12101 . . . . . 6 1259 ∈ ℕ0
5214, 51eqeltri 2906 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
5352nn0cni 11897 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
54 npcan 10883 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5553, 13, 54mp2an 688 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
5655eqcomi 2827 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
57 1nn 11637 . 2 1 ∈ ℕ
58 2nn 11698 . 2 2 ∈ ℕ
592, 22deccl 12101 . . . . 5 37 ∈ ℕ0
6059numexp1 16401 . . . 4 (37↑1) = 37
6160oveq2i 7156 . . 3 (34 · (37↑1)) = (34 · 37)
6249, 61eqtr4i 2844 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · (37↑1))
63 7nn 11717 . . . 4 7 ∈ ℕ
64 4lt7 11813 . . . 4 4 < 7
652, 20, 63, 64declt 12114 . . 3 34 < 37
6665, 60breqtrri 5084 . 2 34 < (37↑1)
67141259lem4 16455 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
68141259lem5 16456 . 2 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
691, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68pockthi 16231 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  0cn0 11885  cdc 12086  cexp 13417  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-odz 16090  df-phi 16091  df-pc 16162
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator