MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259prm 15767
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 15752 . 2 37 ∈ ℙ
2 3nn0 11254 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 4nn 11131 . . 3 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11462 . 2 34 ∈ ℕ
5 1259prm.1 . . . . . 6 𝑁 = 1259
6 1nn0 11252 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
7 2nn0 11253 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
86, 7deccl 11456 . . . . . . . 8 12 ∈ ℕ0
9 5nn0 11256 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11456 . . . . . . 7 125 ∈ ℕ0
11 8nn0 11259 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
12 eqid 2621 . . . . . . 7 1258 = 1258
13 8p1e9 11102 . . . . . . 7 (8 + 1) = 9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 11523 . . . . . 6 (1258 + 1) = 1259
155, 14eqtr4i 2646 . . . . 5 𝑁 = (1258 + 1)
1615oveq1i 6614 . . . 4 (𝑁 − 1) = ((1258 + 1) − 1)
1710, 11deccl 11456 . . . . . 6 1258 ∈ ℕ0
1817nn0cni 11248 . . . . 5 1258 ∈ ℂ
19 ax-1cn 9938 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2018, 19pncan3oi 10241 . . . 4 ((1258 + 1) − 1) = 1258
2116, 20eqtri 2643 . . 3 (𝑁 − 1) = 1258
22 4nn0 11255 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
232, 22deccl 11456 . . . 4 34 ∈ ℕ0
24 7nn0 11258 . . . 4 7 ∈ ℕ0
25 eqid 2621 . . . 4 37 = 37
267, 2deccl 11456 . . . 4 23 ∈ ℕ0
27 eqid 2621 . . . . 5 34 = 34
28 eqid 2621 . . . . 5 23 = 23
29 3t3e9 11124 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
30 2p1e3 11095 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
3129, 30oveq12i 6616 . . . . . 6 ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
32 9p3e12 11565 . . . . . 6 (9 + 3) = 12
3331, 32eqtri 2643 . . . . 5 ((3 · 3) + (2 + 1)) = 12
34 4t3e12 11576 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
35 3cn 11039 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
36 2cn 11035 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
37 3p2e5 11104 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
3835, 36, 37addcomli 10172 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
396, 7, 2, 34, 38decaddi 11523 . . . . 5 ((4 · 3) + 3) = 15
402, 22, 7, 2, 27, 28, 2, 9, 6, 33, 39decmac 11510 . . . 4 ((34 · 3) + 23) = 125
41 7cn 11048 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
42 7t3e21 11593 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4341, 35, 42mulcomli 9991 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
44 1p2e3 11096 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
457, 6, 7, 43, 44decaddi 11523 . . . . 5 ((3 · 7) + 2) = 23
46 4cn 11042 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
47 7t4e28 11594 . . . . . 6 (7 · 4) = 28
4841, 46, 47mulcomli 9991 . . . . 5 (4 · 7) = 28
4924, 2, 22, 27, 11, 7, 45, 48decmul1c 11531 . . . 4 (34 · 7) = 238
5023, 2, 24, 25, 11, 26, 40, 49decmul2c 11533 . . 3 (34 · 37) = 1258
5121, 50eqtr4i 2646 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · 37)
52 9nn0 11260 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
5310, 52deccl 11456 . . . . . 6 1259 ∈ ℕ0
545, 53eqeltri 2694 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
5554nn0cni 11248 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
56 npcan 10234 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5755, 19, 56mp2an 707 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
5857eqcomi 2630 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
59 1nn 10975 . 2 1 ∈ ℕ
60 2nn 11129 . 2 2 ∈ ℕ
612, 24deccl 11456 . . . . 5 37 ∈ ℕ0
6261numexp1 15705 . . . 4 (37↑1) = 37
6362oveq2i 6615 . . 3 (34 · (37↑1)) = (34 · 37)
6451, 63eqtr4i 2646 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · (37↑1))
65 7nn 11134 . . . 4 7 ∈ ℕ
66 4lt7 11155 . . . 4 4 < 7
672, 22, 65, 66declt 11474 . . 3 34 < 37
6867, 62breqtrri 4640 . 2 34 < (37↑1)
6951259lem4 15765 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
7051259lem5 15766 . 2 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
711, 4, 51, 58, 4, 59, 60, 64, 68, 69, 70pockthi 15535 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  0cn0 11236  cdc 11437  cexp 12800  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-odz 15394  df-phi 15395  df-pc 15466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator