Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  127prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 127prm 40835
Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
127prm 127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11259 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 2nn0 11260 . . . 4 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11463 . . 3 12 ∈ ℕ0
4 7nn 11141 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11469 . 2 127 ∈ ℕ
6 8nn0 11266 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11262 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11265 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1lt8 11172 . . 3 1 < 8
10 2lt10 11631 . . 3 2 < 10
11 7lt10 11626 . . 3 7 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11489 . 2 127 < 841
13 2nn 11136 . . . 4 2 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11469 . . 3 12 ∈ ℕ
15 1lt10 11632 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11497 . 2 1 < 127
17 3nn0 11261 . . 3 3 ∈ ℕ0
18 3t2e6 11130 . . 3 (3 · 2) = 6
19 df-7 11035 . . 3 7 = (6 + 1)
203, 17, 18, 19dec2dvds 15698 . 2 ¬ 2 ∥ 127
21 3nn 11137 . . . 4 3 ∈ ℕ
22 1nn 10982 . . . 4 1 ∈ ℕ
23 3t3e9 11131 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
2423oveq1i 6620 . . . . 5 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25 9p1e10 11447 . . . . 5 (9 + 1) = 10
2624, 25eqtri 2643 . . . 4 ((3 · 3) + 1) = 10
27 1lt3 11147 . . . 4 1 < 3
2821, 17, 22, 26, 27ndvdsi 15067 . . 3 ¬ 3 ∥ 10
291, 2, 83dvds2dec 14987 . . . 4 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30 1p2e3 11103 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
3130oveq1i 6620 . . . . . 6 ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32 7cn 11055 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
33 3cn 11046 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 7p3e10 11554 . . . . . . 7 (7 + 3) = 10
3532, 33, 34addcomli 10179 . . . . . 6 (3 + 7) = 10
3631, 35eqtri 2643 . . . . 5 ((1 + 2) + 7) = 10
3736breq2i 4626 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ 10)
3829, 37bitri 264 . . 3 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ 10)
3928, 38mtbir 313 . 2 ¬ 3 ∥ 127
40 2lt5 11153 . . 3 2 < 5
41 5p2e7 11116 . . 3 (5 + 2) = 7
423, 13, 40, 41dec5dvds2 15700 . 2 ¬ 5 ∥ 127
431, 6deccl 11463 . . 3 18 ∈ ℕ0
44 0nn0 11258 . . . 4 0 ∈ ℕ0
45 eqid 2621 . . . 4 18 = 18
461dec0h 11473 . . . 4 1 = 01
47 5nn0 11263 . . . 4 5 ∈ ℕ0
4832mulid1i 9993 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 5cn 11051 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
5049addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
5148, 50oveq12i 6622 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52 7p5e12 11558 . . . . 5 (7 + 5) = 12
5351, 52eqtri 2643 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 5)) = 12
54 6nn0 11264 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
55 8cn 11057 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
56 8t7e56 11612 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
5755, 32, 56mulcomli 9998 . . . . 5 (7 · 8) = 56
58 6p1e7 11107 . . . . 5 (6 + 1) = 7
5947, 54, 1, 57, 58decaddi 11530 . . . 4 ((7 · 8) + 1) = 57
601, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59decma2c 11519 . . 3 ((7 · 18) + 1) = 127
61 1lt7 11165 . . 3 1 < 7
624, 43, 22, 60, 61ndvdsi 15067 . 2 ¬ 7 ∥ 127
631, 22decnncl 11469 . . 3 11 ∈ ℕ
641, 1deccl 11463 . . 3 11 ∈ ℕ0
65 6nn 11140 . . 3 6 ∈ ℕ
66 eqid 2621 . . . 4 11 = 11
6754dec0h 11473 . . . 4 6 = 06
6864nn0cni 11255 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
6968mulid1i 9993 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
70 ax-1cn 9945 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7170addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7269, 71oveq12i 6622 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 1)) = (11 + 1)
73 1p1e2 11085 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
741, 1, 1, 66, 73decaddi 11530 . . . . 5 (11 + 1) = 12
7572, 74eqtri 2643 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 1)) = 12
76 6cn 11053 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
7776, 70, 58addcomli 10179 . . . . 5 (1 + 6) = 7
781, 1, 54, 69, 77decaddi 11530 . . . 4 ((11 · 1) + 6) = 17
791, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78decma2c 11519 . . 3 ((11 · 11) + 6) = 127
80 6lt10 11627 . . . 4 6 < 10
8122, 1, 54, 80declti 11497 . . 3 6 < 11
8263, 64, 65, 79, 81ndvdsi 15067 . 2 ¬ 11 ∥ 127
831, 21decnncl 11469 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11267 . . 3 9 ∈ ℕ0
85 10nn 11465 . . 3 10 ∈ ℕ
86 eqid 2621 . . . 4 13 = 13
87 eqid 2621 . . . 4 10 = 10
88 9cn 11059 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
8988mulid2i 9994 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
9089, 30oveq12i 6622 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91 9p3e12 11572 . . . . 5 (9 + 3) = 12
9290, 91eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 2)) = 12
93 9t3e27 11615 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
9488, 33, 93mulcomli 9998 . . . . 5 (3 · 9) = 27
9532addid1i 10174 . . . . 5 (7 + 0) = 7
962, 8, 44, 94, 95decaddi 11530 . . . 4 ((3 · 9) + 0) = 27
971, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96decmac 11517 . . 3 ((13 · 9) + 10) = 127
98 3pos 11065 . . . 4 0 < 3
991, 44, 21, 98declt 11481 . . 3 10 < 13
10083, 84, 85, 97, 99ndvdsi 15067 . 2 ¬ 13 ∥ 127
1011, 4decnncl 11469 . . 3 17 ∈ ℕ
102 8nn 11142 . . 3 8 ∈ ℕ
103 eqid 2621 . . . 4 17 = 17
10432mulid2i 9994 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
105104oveq1i 6620 . . . . 5 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106105, 52eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 7) + 5) = 12
107 7t7e49 11604 . . . . 5 (7 · 7) = 49
108 4p1e5 11105 . . . . 5 (4 + 1) = 5
109 9p8e17 11577 . . . . 5 (9 + 8) = 17
1107, 84, 6, 107, 108, 8, 109decaddci 11531 . . . 4 ((7 · 7) + 8) = 57
1111, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110decrmac 11528 . . 3 ((17 · 7) + 8) = 127
112 8lt10 11625 . . . 4 8 < 10
11322, 8, 6, 112declti 11497 . . 3 8 < 17
114101, 8, 102, 111, 113ndvdsi 15067 . 2 ¬ 17 ∥ 127
115 9nn 11143 . . . 4 9 ∈ ℕ
1161, 115decnncl 11469 . . 3 19 ∈ ℕ
117 eqid 2621 . . . 4 19 = 19
11876mulid2i 9994 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
119 5p1e6 11106 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
12049, 70, 119addcomli 10179 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
121118, 120oveq12i 6622 . . . . 5 ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122 6p6e12 11553 . . . . 5 (6 + 6) = 12
123121, 122eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 6) + (1 + 5)) = 12
124 9t6e54 11618 . . . . 5 (9 · 6) = 54
125 4p3e7 11114 . . . . 5 (4 + 3) = 7
12647, 7, 17, 124, 125decaddi 11530 . . . 4 ((9 · 6) + 3) = 57
1271, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126decmac 11517 . . 3 ((19 · 6) + 13) = 127
128 3lt9 11178 . . . 4 3 < 9
1291, 17, 115, 128declt 11481 . . 3 13 < 19
130116, 54, 83, 127, 129ndvdsi 15067 . 2 ¬ 19 ∥ 127
1312, 21decnncl 11469 . . 3 23 ∈ ℕ
132 eqid 2621 . . . 4 23 = 23
133 eqid 2621 . . . 4 12 = 12
134 2cn 11042 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
135 5t2e10 11585 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
13649, 134, 135mulcomli 9998 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
137136, 73oveq12i 6622 . . . . 5 ((2 · 5) + (1 + 1)) = (10 + 2)
138 dec10p 11504 . . . . 5 (10 + 2) = 12
139137, 138eqtri 2643 . . . 4 ((2 · 5) + (1 + 1)) = 12
140 5t3e15 11586 . . . . . 6 (5 · 3) = 15
14149, 33, 140mulcomli 9998 . . . . 5 (3 · 5) = 15
1421, 47, 2, 141, 41decaddi 11530 . . . 4 ((3 · 5) + 2) = 17
1432, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142decmac 11517 . . 3 ((23 · 5) + 12) = 127
144 1lt2 11145 . . . 4 1 < 2
1451, 2, 2, 17, 10, 144decltc 11483 . . 3 12 < 23
146131, 47, 14, 143, 145ndvdsi 15067 . 2 ¬ 23 ∥ 127
1475, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146prmlem2 15758 1 127 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  7c7 11026  8c8 11027  9c9 11028  cdc 11444  cdvds 14914  cprime 15316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-prm 15317
This theorem is referenced by:  m7prm  40836
  Copyright terms: Public domain W3C validator