Theorem 139prm 16456

Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
139prm	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11912	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 11914	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12112	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 11734	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12117	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 11919	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11915	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 11920	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 11834	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12234	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12228	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12130	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 11715	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12236	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12135	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 11804	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 11706	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16398	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		6nn0 11917	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21	7, 20	deccl 12112	. . 3 ⊢ ;46 ∈ ℕ0
22		1nn 11648	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		0nn0 11911	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;46 = ;46
25	1	dec0h 12119	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
26		ax-1cn 10594	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	26	addid2i 10827	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
28	27	oveq2i 7166	. . . . 5 ⊢ ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29		2nn0 11913	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
30		2p1e3 11778	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
31	7	nn0cni 11908	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
32		3cn 11717	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		4t3e12 12195	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 3) = ;12
34	31, 32, 33	mulcomli 10649	. . . . . 6 ⊢ (3 · 4) = ;12
35	1, 29, 30, 34	decsuc 12128	. . . . 5 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
36	28, 35	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + (0 + 1)) = ;13
37		8p1e9 11786	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
38	20	nn0cni 11908	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
39		6t3e18 12202	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	38, 32, 39	mulcomli 10649	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
41	1, 6, 37, 40	decsuc 12128	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
42	7, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41	decma2c 12150	. . 3 ⊢ ((3 · ;46) + 1) = ;;139
43		1lt3 11809	. . 3 ⊢ 1 < 3
44	13, 21, 22, 42, 43	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
45		4nn 11719	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
46		4lt5 11813	. . 3 ⊢ 4 < 5
47		5p4e9 11794	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
48	3, 45, 46, 47	dec5dvds2 16400	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
49		7nn 11728	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
50	1, 8	deccl 12112	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
51		6nn 11725	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
52		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
53	20	dec0h 12119	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
54		7nn0 11918	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
55		7cn 11730	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
56	55	mulid1i 10644	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
57	38	addid2i 10827	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
58	56, 57	oveq12i 7167	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59		7p6e13 12175	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
60	58, 59	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
61		9cn 11736	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
62		9t7e63 12224	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
63	61, 55, 62	mulcomli 10649	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
64		6p3e9 11796	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
65	38, 32, 64	addcomli 10831	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
66	20, 2, 20, 63, 65	decaddi 12157	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
67	1, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66	decma2c 12150	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
68		6lt7 11822	. . 3 ⊢ 6 < 7
69	49, 50, 51, 67, 68	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
70	1, 22	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
71	1, 29	deccl 12112	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
72		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
73	54	dec0h 12119	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
74	1, 1	deccl 12112	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
75		2cn 11711	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	75	addid2i 10827	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
77	76	oveq2i 7166	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
78	70	nncni 11647	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
79	78	mulid1i 10644	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
80		1p2e3 11779	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
81	1, 1, 29, 79, 80	decaddi 12157	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
82	77, 81	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
83		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
84	75	mulid2i 10645	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
85		00id 10814	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
86	84, 85	oveq12i 7167	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
87	75	addid1i 10826	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
88	86, 87	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
89	84	oveq1i 7165	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90		7p2e9 11797	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
91	55, 75, 90	addcomli 10831	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
92	8	dec0h 12119	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
93	89, 91, 92	3eqtri 2848	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
94	1, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93	decmac 12149	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
95	1, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94	decma2c 12150	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
96		7lt10 12230	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
97	22, 1, 54, 96	declti 12135	. . 3 ⊢ 7 < ;11
98	70, 71, 49, 95, 97	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
99		10nn0 12115	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
100		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
101		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
102	23	dec0h 12119	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
103	85, 102	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = ;00
104	26	mulid1i 10644	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105	104, 85	oveq12i 7167	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
106	26	addid1i 10826	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
107	105, 106	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
108	32	mulid1i 10644	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
109	108	oveq1i 7165	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
110	32	addid1i 10826	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
111	2	dec0h 12119	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
112	109, 110, 111	3eqtri 2848	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = ;03
113	1, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112	decmac 12149	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
114	3	nn0cni 11908	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
115	114	mul01i 10829	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
116	115	oveq1i 7165	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
117	61	addid2i 10827	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
118	116, 117, 92	3eqtri 2848	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
119	1, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118	decma2c 12150	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
120	22, 2, 8, 11	declti 12135	. . 3 ⊢ 9 < ;13
121	14, 99, 4, 119, 120	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
122	1, 49	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
123		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
124		5nn0 11916	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
125		8cn 11733	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126	125	mulid2i 10645	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
127		5cn 11724	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
128	127	addid2i 10827	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
129	126, 128	oveq12i 7167	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130		8p5e13 12180	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
131	129, 130	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
132		8t7e56 12217	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
133	125, 55, 132	mulcomli 10649	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
134	124, 20, 2, 133, 64	decaddi 12157	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
135	1, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134	decmac 12149	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
136	22, 54, 2, 10	declti 12135	. . 3 ⊢ 3 < ;17
137	122, 6, 13, 135, 136	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
138	1, 4	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
139	55	mulid2i 10645	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
140	139, 57	oveq12i 7167	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141	140, 59	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
142	20, 2, 20, 62, 65	decaddi 12157	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
143	1, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142	decmac 12149	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
144		6lt10 12231	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
145	22, 8, 20, 144	declti 12135	. . 3 ⊢ 6 < ;19
146	138, 54, 51, 143, 145	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
147	29, 13	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
149		6t2e12 12201	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
150	38, 75, 149	mulcomli 10649	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
151	1, 29, 30, 150	decsuc 12128	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
152	29, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41	decrmac 12155	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
153		2nn 11709	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
154	153, 2, 1, 15	declti 12135	. . 3 ⊢ 1 < ;23
155	147, 20, 22, 152, 154	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
156	5, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155	prmlem2 16452	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  2c2 11691  3c3 11692  4c4 11693  5c5 11694  6c6 11695  7c7 11696  8c8 11697  9c9 11698  ;cdc 12097  ℙcprime 16014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-prm 16015

This theorem is referenced by:  2503prm  16472