MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  139prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prm 15762
Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
139prm 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11259 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11261 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11463 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11143 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11469 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11266 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11262 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11267 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11172 . . 3 1 < 8
10 3lt10 11630 . . 3 3 < 10
11 9lt10 11624 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11489 . 2 139 < 841
13 3nn 11137 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11469 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 11632 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11497 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11132 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 11037 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 15698 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 6nn0 11264 . . . 4 6 ∈ ℕ0
217, 20deccl 11463 . . 3 46 ∈ ℕ0
22 1nn 10982 . . 3 1 ∈ ℕ
23 0nn0 11258 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2621 . . . 4 46 = 46
251dec0h 11473 . . . 4 1 = 01
26 ax-1cn 9945 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2726addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 6621 . . . . 5 ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29 2nn0 11260 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
30 2p1e3 11102 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
317nn0cni 11255 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
32 3cn 11046 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
33 4t3e12 11583 . . . . . . 7 (4 · 3) = 12
3431, 32, 33mulcomli 9998 . . . . . 6 (3 · 4) = 12
351, 29, 30, 34decsuc 11486 . . . . 5 ((3 · 4) + 1) = 13
3628, 35eqtri 2643 . . . 4 ((3 · 4) + (0 + 1)) = 13
37 8p1e9 11109 . . . . 5 (8 + 1) = 9
3820nn0cni 11255 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
39 6t3e18 11593 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
4038, 32, 39mulcomli 9998 . . . . 5 (3 · 6) = 18
411, 6, 37, 40decsuc 11486 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
427, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41decma2c 11519 . . 3 ((3 · 46) + 1) = 139
43 1lt3 11147 . . 3 1 < 3
4413, 21, 22, 42, 43ndvdsi 15067 . 2 ¬ 3 ∥ 139
45 4nn 11138 . . 3 4 ∈ ℕ
46 4lt5 11151 . . 3 4 < 5
47 5p4e9 11118 . . 3 (5 + 4) = 9
483, 45, 46, 47dec5dvds2 15700 . 2 ¬ 5 ∥ 139
49 7nn 11141 . . 3 7 ∈ ℕ
501, 8deccl 11463 . . 3 19 ∈ ℕ0
51 6nn 11140 . . 3 6 ∈ ℕ
52 eqid 2621 . . . 4 19 = 19
5320dec0h 11473 . . . 4 6 = 06
54 7nn0 11265 . . . 4 7 ∈ ℕ0
55 7cn 11055 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5655mulid1i 9993 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
5738addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5856, 57oveq12i 6622 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59 7p6e13 11559 . . . . 5 (7 + 6) = 13
6058, 59eqtri 2643 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
61 9cn 11059 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
62 9t7e63 11619 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
6361, 55, 62mulcomli 9998 . . . . 5 (7 · 9) = 63
64 6p3e9 11121 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6538, 32, 64addcomli 10179 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6620, 2, 20, 63, 65decaddi 11530 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
671, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66decma2c 11519 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
68 6lt7 11160 . . 3 6 < 7
6949, 50, 51, 67, 68ndvdsi 15067 . 2 ¬ 7 ∥ 139
701, 22decnncl 11469 . . 3 11 ∈ ℕ
711, 29deccl 11463 . . 3 12 ∈ ℕ0
72 eqid 2621 . . . 4 12 = 12
7354dec0h 11473 . . . 4 7 = 07
741, 1deccl 11463 . . . 4 11 ∈ ℕ0
75 2cn 11042 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7675addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7776oveq2i 6621 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7870nncni 10981 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7978mulid1i 9993 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
80 1p2e3 11103 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
811, 1, 29, 79, 80decaddi 11530 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8277, 81eqtri 2643 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
83 eqid 2621 . . . . 5 11 = 11
8475mulid2i 9994 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
85 00id 10162 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8684, 85oveq12i 6622 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8775addid1i 10174 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8886, 87eqtri 2643 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8984oveq1i 6620 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90 7p2e9 11123 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
9155, 75, 90addcomli 10179 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
928dec0h 11473 . . . . . 6 9 = 09
9389, 91, 923eqtri 2647 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
941, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93decmac 11517 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
951, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94decma2c 11519 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
96 7lt10 11626 . . . 4 7 < 10
9722, 1, 54, 96declti 11497 . . 3 7 < 11
9870, 71, 49, 95, 97ndvdsi 15067 . 2 ¬ 11 ∥ 139
99 10nn0 11467 . . 3 10 ∈ ℕ0
100 eqid 2621 . . . 4 10 = 10
101 eqid 2621 . . . . 5 13 = 13
10223dec0h 11473 . . . . . 6 0 = 00
10385, 102eqtri 2643 . . . . 5 (0 + 0) = 00
10426mulid1i 9993 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
105104, 85oveq12i 6622 . . . . . 6 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
10626addid1i 10174 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
107105, 106eqtri 2643 . . . . 5 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10832mulid1i 9993 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
109108oveq1i 6620 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
11032addid1i 10174 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
1112dec0h 11473 . . . . . 6 3 = 03
112109, 110, 1113eqtri 2647 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 03
1131, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112decmac 11517 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
1143nn0cni 11255 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
115114mul01i 10177 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
116115oveq1i 6620 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
11761addid2i 10175 . . . . 5 (0 + 9) = 9
118116, 117, 923eqtri 2647 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1191, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118decma2c 11519 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
12022, 2, 8, 11declti 11497 . . 3 9 < 13
12114, 99, 4, 119, 120ndvdsi 15067 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1221, 49decnncl 11469 . . 3 17 ∈ ℕ
123 eqid 2621 . . . 4 17 = 17
124 5nn0 11263 . . . 4 5 ∈ ℕ0
125 8cn 11057 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126125mulid2i 9994 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
127 5cn 11051 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
128127addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
129126, 128oveq12i 6622 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130 8p5e13 11566 . . . . 5 (8 + 5) = 13
131129, 130eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
132 8t7e56 11612 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
133125, 55, 132mulcomli 9998 . . . . 5 (7 · 8) = 56
134124, 20, 2, 133, 64decaddi 11530 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1351, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134decmac 11517 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
13622, 54, 2, 10declti 11497 . . 3 3 < 17
137122, 6, 13, 135, 136ndvdsi 15067 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1381, 4decnncl 11469 . . 3 19 ∈ ℕ
13955mulid2i 9994 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
140139, 57oveq12i 6622 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141140, 59eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
14220, 2, 20, 62, 65decaddi 11530 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1431, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142decmac 11517 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
144 6lt10 11627 . . . 4 6 < 10
14522, 8, 20, 144declti 11497 . . 3 6 < 19
146138, 54, 51, 143, 145ndvdsi 15067 . 2 ¬ 19 ∥ 139
14729, 13decnncl 11469 . . 3 23 ∈ ℕ
148 eqid 2621 . . . 4 23 = 23
149 6t2e12 11592 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
15038, 75, 149mulcomli 9998 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1511, 29, 30, 150decsuc 11486 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
15229, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41decrmac 11528 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
153 2nn 11136 . . . 4 2 ∈ ℕ
154153, 2, 1, 15declti 11497 . . 3 1 < 23
155147, 20, 22, 152, 154ndvdsi 15067 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1565, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155prmlem2 15758 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  7c7 11026  8c8 11027  9c9 11028  cdc 11444  cprime 15316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-prm 15317
This theorem is referenced by:  2503prm  15778
  Copyright terms: Public domain W3C validator