Theorem 163prm 16452

Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
163prm	⊢ ;;163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11907	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		6nn0 11912	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12107	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
4		3nn 11710	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12112	. 2 ⊢ ;;163 ∈ ℕ
6		8nn0 11914	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11910	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		3nn0 11909	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt8 11829	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		6lt10 12226	. . 3 ⊢ 6 < ;10
11		3lt10 12229	. . 3 ⊢ 3 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12125	. 2 ⊢ ;;163 < ;;841
13		6nn 11720	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12112	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		1lt10 12231	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12130	. 2 ⊢ 1 < ;;163
17		2cn 11706	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	mulid2i 10640	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
19		df-3 11695	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	3, 1, 18, 19	dec2dvds 16393	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;163
21		5nn0 11911	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22	21, 7	deccl 12107	. . 3 ⊢ ;54 ∈ ℕ0
23		1nn 11643	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
24		0nn0 11906	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;54 = ;54
26	1	dec0h 12114	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
27		ax-1cn 10589	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10822	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	28	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30		5p1e6 11778	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
31		5cn 11719	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
32		3cn 11712	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		5t3e15 12193	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
34	31, 32, 33	mulcomli 10644	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
35	1, 21, 30, 34	decsuc 12123	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
36	29, 35	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ;16
37		2nn0 11908	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		2p1e3 11773	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
39		4cn 11716	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		4t3e12 12190	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
41	39, 32, 40	mulcomli 10644	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
42	1, 37, 38, 41	decsuc 12123	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
43	21, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42	decma2c 12145	. . 3 ⊢ ((3 · ;54) + 1) = ;;163
44		1lt3 11804	. . 3 ⊢ 1 < 3
45	4, 22, 23, 43, 44	ndvdsi 15757	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;163
46		3lt5 11809	. . 3 ⊢ 3 < 5
47	3, 4, 46	dec5dvds 16394	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;163
48		7nn 11723	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	37, 8	deccl 12107	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
50		2nn 11704	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
52	37	dec0h 12114	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
53		7nn0 11913	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
54	17	addid2i 10822	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
55	54	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56		7t2e14 12201	. . . . . 6 ⊢ (7 · 2) = ;14
57		4p2e6 11784	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
58	1, 7, 37, 56, 57	decaddi 12152	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + 2) = ;16
59	55, 58	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ;16
60		7t3e21 12202	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
61		1p2e3 11774	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
62	37, 1, 37, 60, 61	decaddi 12152	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 2) = ;23
63	37, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62	decma2c 12145	. . 3 ⊢ ((7 · ;23) + 2) = ;;163
64		2lt7 11821	. . 3 ⊢ 2 < 7
65	48, 49, 50, 63, 64	ndvdsi 15757	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;163
66	1, 23	decnncl 12112	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
67	1, 7	deccl 12107	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
68		9nn 11729	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
69		9nn0 11915	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
70		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
71	69	dec0h 12114	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
72	1, 1	deccl 12107	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73	31	addid2i 10822	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
74	73	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ((;11 · 1) + 5)
75	66	nncni 11642	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
76	75	mulid1i 10639	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
77	31, 27, 30	addcomli 10826	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
78	1, 1, 21, 76, 77	decaddi 12152	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 5) = ;16
79	74, 78	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ;16
80		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
81	39	mulid2i 10640	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 4) = 4
82	81, 28	oveq12i 7162	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83		4p1e5 11777	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
84	82, 83	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
85	81	oveq1i 7160	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86		9cn 11731	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
87		9p4e13 12181	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
88	86, 39, 87	addcomli 10826	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
89	85, 88	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + 9) = ;13
90	1, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89	decmac 12144	. . . 4 ⊢ ((;11 · 4) + 9) = ;53
91	1, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90	decma2c 12145	. . 3 ⊢ ((;11 · ;14) + 9) = ;;163
92		9lt10 12223	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
93	23, 1, 69, 92	declti 12130	. . 3 ⊢ 9 < ;11
94	66, 67, 68, 91, 93	ndvdsi 15757	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;163
95	1, 4	decnncl 12112	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
96	1, 37	deccl 12107	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
97		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
98	53	dec0h 12114	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
99	1, 8	deccl 12107	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
100		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
101	32	addid2i 10822	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
102	8	dec0h 12114	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
103	101, 102	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (0 + 3) = ;03
104	27	mulid1i 10639	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105		00id 10809	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
106	104, 105	oveq12i 7162	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
107	27	addid1i 10821	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
108	106, 107	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
109	32	mulid1i 10639	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
110	109	oveq1i 7160	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111		3p3e6 11783	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
112	110, 111	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 3) = 6
113	2	dec0h 12114	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
114	112, 113	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 3) = ;06
115	1, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114	decmac 12144	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 3)) = ;16
116	18, 28	oveq12i 7162	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117	116, 38	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118		3t2e6 11797	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
119	118	oveq1i 7160	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120		7cn 11725	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
121		6cn 11722	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
122		7p6e13 12170	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 6) = ;13
123	120, 121, 122	addcomli 10826	. . . . . 6 ⊢ (6 + 7) = ;13
124	119, 123	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
125	1, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124	decmac 12144	. . . 4 ⊢ ((;13 · 2) + 7) = ;33
126	1, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125	decma2c 12145	. . 3 ⊢ ((;13 · ;12) + 7) = ;;163
127		7lt10 12225	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
128	23, 8, 53, 127	declti 12130	. . 3 ⊢ 7 < ;13
129	95, 96, 48, 126, 128	ndvdsi 15757	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;163
130	1, 48	decnncl 12112	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
131		10nn 12108	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
132		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
133		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
134	86	mulid2i 10640	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
135		6p1e7 11779	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
136	121, 27, 135	addcomli 10826	. . . . . 6 ⊢ (1 + 6) = 7
137	134, 136	oveq12i 7162	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138		9p7e16 12184	. . . . 5 ⊢ (9 + 7) = ;16
139	137, 138	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = ;16
140		9t7e63 12219	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 7) = ;63
141	86, 120, 140	mulcomli 10644	. . . . . 6 ⊢ (7 · 9) = ;63
142	141	oveq1i 7160	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 0) = (;63 + 0)
143	2, 8	deccl 12107	. . . . . . 7 ⊢ ;63 ∈ ℕ0
144	143	nn0cni 11903	. . . . . 6 ⊢ ;63 ∈ ℂ
145	144	addid1i 10821	. . . . 5 ⊢ (;63 + 0) = ;63
146	142, 145	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 0) = ;63
147	1, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146	decmac 12144	. . 3 ⊢ ((;17 · 9) + ;10) = ;;163
148		7pos 11742	. . . 4 ⊢ 0 < 7
149	1, 24, 48, 148	declt 12120	. . 3 ⊢ ;10 < ;17
150	130, 69, 131, 147, 149	ndvdsi 15757	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;163
151	1, 68	decnncl 12112	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
152		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
153		8cn 11728	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
154	153	mulid2i 10640	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
155		7p1e8 11780	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
156	120, 27, 155	addcomli 10826	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) = 8
157	154, 156	oveq12i 7162	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158		8p8e16 12178	. . . . 5 ⊢ (8 + 8) = ;16
159	157, 158	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = ;16
160		9t8e72 12220	. . . . 5 ⊢ (9 · 8) = ;72
161	53, 37, 38, 160	decsuc 12123	. . . 4 ⊢ ((9 · 8) + 1) = ;73
162	1, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161	decmac 12144	. . 3 ⊢ ((;19 · 8) + ;11) = ;;163
163		1lt9 11837	. . . 4 ⊢ 1 < 9
164	1, 1, 68, 163	declt 12120	. . 3 ⊢ ;11 < ;19
165	151, 6, 66, 162, 164	ndvdsi 15757	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;163
166	37, 4	decnncl 12112	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
167	120, 17, 56	mulcomli 10644	. . . . 5 ⊢ (2 · 7) = ;14
168	1, 7, 37, 167, 57	decaddi 12152	. . . 4 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
169	120, 32, 60	mulcomli 10644	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
170	37, 1, 37, 169, 61	decaddi 12152	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
171	37, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170	decrmac 12150	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
172		2lt10 12230	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
173	50, 8, 37, 172	declti 12130	. . 3 ⊢ 2 < ;23
174	166, 53, 50, 171, 173	ndvdsi 15757	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;163
175	5, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174	prmlem2 16447	1 ⊢ ;;163 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  5c5 11689  6c6 11690  7c7 11691  8c8 11692  9c9 11693  ;cdc 12092  ℙcprime 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-prm 16010

This theorem is referenced by: (None)