Theorem 17prm 16444

Description: 17 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
17prm	⊢ ;17 ∈ ℙ

Proof of Theorem 17prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11907	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		7nn 11723	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12112	. 2 ⊢ ;17 ∈ ℕ
4		1nn 11643	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		7nn0 11913	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1lt10 12231	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12130	. 2 ⊢ 1 < ;17
8		3nn0 11909	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		3t2e6 11797	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
10		df-7 11699	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 16393	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;17
12		3nn 11710	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		5nn0 11911	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		2nn 11704	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		2nn0 11908	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5cn 11719	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℂ
17		3cn 11712	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5t3e15 12193	. . . . 5 ⊢ (5 · 3) = ;15
19	16, 17, 18	mulcomli 10644	. . . 4 ⊢ (3 · 5) = ;15
20		5p2e7 11787	. . . 4 ⊢ (5 + 2) = 7
21	1, 13, 15, 19, 20	decaddi 12152	. . 3 ⊢ ((3 · 5) + 2) = ;17
22		2lt3 11803	. . 3 ⊢ 2 < 3
23	12, 13, 14, 21, 22	ndvdsi 15757	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;17
24		7lt10 12225	. . 3 ⊢ 7 < ;10
25		1lt2 11802	. . 3 ⊢ 1 < 2
26	1, 15, 5, 13, 24, 25	decltc 12121	. 2 ⊢ ;17 < ;25
27	3, 7, 11, 23, 26	prmlem1 16435	1 ⊢ ;17 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  1c1 10532   · cmul 10536  2c2 11686  3c3 11687  5c5 11689  6c6 11690  7c7 11691  ;cdc 12092  ℙcprime 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-prm 16010

This theorem is referenced by:  fmtno2prm  43716