Theorem 19prm 16453

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11916	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 11738	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12121	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 11651	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 11924	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 12240	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12139	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 11919	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 11808	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 11710	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 16401	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 11719	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 11921	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 11923	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 11790	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 11731	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 11721	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 12206	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 10652	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 12132	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 11813	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 11917	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 11920	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 12232	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 11811	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 12130	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 16443	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  1c1 10540   · cmul 10544  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  5c5 11698  6c6 11699  8c8 11701  9c9 11702  ;cdc 12101  ℙcprime 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-prm 16018

This theorem is referenced by:  2503lem3  16474