Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arithlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arithlem4 15554
 Description: Lemma for 1arith 15555. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arithlem4.2 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹𝑦)), 1))
1arithlem4.3 (𝜑𝐹:ℙ⟶ℕ0)
1arithlem4.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1arithlem4.5 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁𝑞)) → (𝐹𝑞) = 0)
Assertion
Ref Expression
1arithlem4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀𝑥))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝐹,𝑞,𝑥,𝑦   𝑀,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦   𝑛,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑛,𝑝)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑛,𝑝)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem 1arithlem4
StepHypRef Expression
1 1arithlem4.2 . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹𝑦)), 1))
2 1arithlem4.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℙ⟶ℕ0)
32ffvelrnda 6315 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℙ) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
43ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
51, 4pcmptcl 15519 . . . 4 (𝜑 → (𝐺:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ))
65simprd 479 . . 3 (𝜑 → seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ)
7 1arithlem4.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
86, 7ffvelrnd 6316 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ)
9 1arith.1 . . . . . . 7 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1091arithlem2 15552 . . . . . 6 (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
118, 10sylan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
124adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
137adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
15 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑞 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑞))
161, 12, 13, 14, 15pcmpt 15520 . . . . 5 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) = if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0))
1713nnred 10979 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 prmz 15313 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
1918zred 11426 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℝ)
21 ifid 4097 . . . . . . 7 if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), (𝐹𝑞)) = (𝐹𝑞)
22 1arithlem4.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁𝑞)) → (𝐹𝑞) = 0)
2322anassrs 679 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁𝑞) → (𝐹𝑞) = 0)
2423ifeq2d 4077 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁𝑞) → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), (𝐹𝑞)) = if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0))
2521, 24syl5reqr 2670 . . . . . 6 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁𝑞) → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0) = (𝐹𝑞))
26 iftrue 4064 . . . . . . 7 (𝑞𝑁 → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0) = (𝐹𝑞))
2726adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0) = (𝐹𝑞))
2817, 20, 25, 27lecasei 10087 . . . . 5 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0) = (𝐹𝑞))
2911, 16, 283eqtrrd 2660 . . . 4 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
3029ralrimiva 2960 . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
3191arithlem3 15553 . . . . 5 ((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
328, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
33 ffn 6002 . . . . 5 (𝐹:ℙ⟶ℕ0𝐹 Fn ℙ)
34 ffn 6002 . . . . 5 ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ)
35 eqfnfv 6267 . . . . 5 ((𝐹 Fn ℙ ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
3633, 34, 35syl2an 494 . . . 4 ((𝐹:ℙ⟶ℕ0 ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
372, 32, 36syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
3830, 37mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
39 fveq2 6148 . . . 4 (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) → (𝑀𝑥) = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
4039eqeq2d 2631 . . 3 (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) → (𝐹 = (𝑀𝑥) ↔ 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))))
4140rspcev 3295 . 2 (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀𝑥))
428, 38, 41syl2anc 692 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  ifcif 4058   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   ≤ cle 10019  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  seqcseq 12741  ↑cexp 12800  ℙcprime 15309   pCnt cpc 15465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466 This theorem is referenced by:  1arith  15555
 Copyright terms: Public domain W3C validator