MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1cubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cubr 25347
Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1cubr.r 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
Assertion
Ref Expression
1cubr (𝐴𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cubr.r . . . . 5 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
2 ax-1cn 10583 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
3 neg1cn 11739 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
4 ax-icn 10584 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
5 3cn 11706 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
6 sqrtcl 14709 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℂ → (√‘3) ∈ ℂ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (√‘3) ∈ ℂ
84, 7mulcli 10636 . . . . . . . . 9 (i · (√‘3)) ∈ ℂ
93, 8addcli 10635 . . . . . . . 8 (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
10 halfcl 11850 . . . . . . . 8 ((-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
123, 8subcli 10950 . . . . . . . 8 (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ
13 halfcl 11850 . . . . . . . 8 ((-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
152, 11, 143pm3.2i 1331 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
162elexi 3511 . . . . . . 7 1 ∈ V
17 ovex 7178 . . . . . . 7 ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
18 ovex 7178 . . . . . . 7 ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
1916, 17, 18tpss 4760 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ) ↔ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ)
2015, 19mpbi 231 . . . . 5 {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ
211, 20eqsstri 3998 . . . 4 𝑅 ⊆ ℂ
2221sseli 3960 . . 3 (𝐴𝑅𝐴 ∈ ℂ)
2322pm4.71ri 561 . 2 (𝐴𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑅))
24 3nn 11704 . . . . 5 3 ∈ ℕ
25 cxpeq 25265 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
2624, 2, 25mp3an23 1444 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
27 eltpg 4615 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))))
281eleq2i 2901 . . . . 5 (𝐴𝑅𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)})
29 3m1e2 11753 . . . . . . . . . 10 (3 − 1) = 2
30 2cn 11700 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
3130addid2i 10816 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
3229, 31eqtr4i 2844 . . . . . . . . 9 (3 − 1) = (0 + 2)
3332oveq2i 7156 . . . . . . . 8 (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
34 0z 11980 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
35 fztp 12951 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3733, 36eqtri 2841 . . . . . . 7 (0...(3 − 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3837rexeqi 3412 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
39 3ne0 11731 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
405, 39reccli 11358 . . . . . . . . . 10 (1 / 3) ∈ ℂ
41 1cxp 25182 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) ∈ ℂ → (1↑𝑐(1 / 3)) = 1)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1↑𝑐(1 / 3)) = 1
4342oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))
4443eqeq2i 2831 . . . . . . 7 (𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
4544rexbii 3244 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
4634elexi 3511 . . . . . . 7 0 ∈ V
47 ovex 7178 . . . . . . 7 (0 + 1) ∈ V
48 ovex 7178 . . . . . . 7 (0 + 2) ∈ V
49 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0))
5030, 5, 39divcli 11370 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 3) ∈ ℂ
51 cxpcl 25184 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
523, 50, 51mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
53 exp0 13421 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1
5549, 54syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = 1)
5655oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · 1))
57 1t1e1 11787 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
5856, 57syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = 1)
5958eqeq2d 2829 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = 1))
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = (0 + 1))
612addid2i 10816 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
6260, 61syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = 1)
6362oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1))
64 exp1 13423 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
6552, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
6663, 65syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
6766oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))))
6852mulid2i 10634 . . . . . . . . . 10 (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = (-1↑𝑐(2 / 3))
69 1cubrlem 25346 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
7069simpli 484 . . . . . . . . . 10 (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
7168, 70eqtri 2841 . . . . . . . . 9 (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
7267, 71syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
7372eqeq2d 2829 . . . . . . 7 (𝑛 = (0 + 1) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = (0 + 2))
7574, 31syl6eq 2869 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = 2)
7675oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (0 + 2) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2))
7776oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)))
7852sqcli 13532 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) ∈ ℂ
7978mulid2i 10634 . . . . . . . . . 10 (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
8069simpri 486 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
8179, 80eqtri 2841 . . . . . . . . 9 (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
8277, 81syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
8382eqeq2d 2829 . . . . . . 7 (𝑛 = (0 + 2) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
8446, 47, 48, 59, 73, 83rextp 4634 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
8538, 45, 843bitri 298 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
8627, 28, 853bitr4g 315 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑅 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
8726, 86bitr4d 283 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ 𝐴𝑅))
8887pm5.32i 575 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑅))
8923, 88bitr4i 279 1 (𝐴𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  wss 3933  {ctp 4561  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  cz 11969  ...cfz 12880  cexp 13417  csqrt 14580  𝑐ccxp 25066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068
This theorem is referenced by:  cubic  25354
  Copyright terms: Public domain W3C validator