MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1cubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cubr 24486
Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1cubr.r 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
Assertion
Ref Expression
1cubr (𝐴𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cubr.r . . . . 5 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
2 ax-1cn 9946 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
3 neg1cn 11076 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
4 ax-icn 9947 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
5 3cn 11047 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
6 sqrtcl 14043 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℂ → (√‘3) ∈ ℂ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (√‘3) ∈ ℂ
84, 7mulcli 9997 . . . . . . . . 9 (i · (√‘3)) ∈ ℂ
93, 8addcli 9996 . . . . . . . 8 (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
10 halfcl 11209 . . . . . . . 8 ((-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
123, 8subcli 10309 . . . . . . . 8 (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ
13 halfcl 11209 . . . . . . . 8 ((-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
152, 11, 143pm3.2i 1237 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
162elexi 3202 . . . . . . 7 1 ∈ V
17 ovex 6638 . . . . . . 7 ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
18 ovex 6638 . . . . . . 7 ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
1916, 17, 18tpss 4341 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ) ↔ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ)
2015, 19mpbi 220 . . . . 5 {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ
211, 20eqsstri 3619 . . . 4 𝑅 ⊆ ℂ
2221sseli 3583 . . 3 (𝐴𝑅𝐴 ∈ ℂ)
2322pm4.71ri 664 . 2 (𝐴𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑅))
24 3nn 11138 . . . . 5 3 ∈ ℕ
25 cxpeq 24415 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
2624, 2, 25mp3an23 1413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
27 eltpg 4203 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))))
281eleq2i 2690 . . . . 5 (𝐴𝑅𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)})
29 3m1e2 11089 . . . . . . . . . 10 (3 − 1) = 2
30 2cn 11043 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
3130addid2i 10176 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
3229, 31eqtr4i 2646 . . . . . . . . 9 (3 − 1) = (0 + 2)
3332oveq2i 6621 . . . . . . . 8 (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
34 0z 11340 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
35 fztp 12347 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3733, 36eqtri 2643 . . . . . . 7 (0...(3 − 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3837rexeqi 3135 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
39 3ne0 11067 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
405, 39reccli 10707 . . . . . . . . . 10 (1 / 3) ∈ ℂ
41 1cxp 24335 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) ∈ ℂ → (1↑𝑐(1 / 3)) = 1)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1↑𝑐(1 / 3)) = 1
4342oveq1i 6620 . . . . . . . 8 ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))
4443eqeq2i 2633 . . . . . . 7 (𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
4544rexbii 3035 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
4634elexi 3202 . . . . . . 7 0 ∈ V
47 ovex 6638 . . . . . . 7 (0 + 1) ∈ V
48 ovex 6638 . . . . . . 7 (0 + 2) ∈ V
49 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0))
5030, 5, 39divcli 10719 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 3) ∈ ℂ
51 cxpcl 24337 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
523, 50, 51mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
53 exp0 12812 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1
5549, 54syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = 1)
5655oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · 1))
57 1t1e1 11127 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
5856, 57syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = 1)
5958eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = 1))
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = (0 + 1))
612addid2i 10176 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
6260, 61syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = 1)
6362oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1))
64 exp1 12814 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
6552, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
6663, 65syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
6766oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))))
6852mulid2i 9995 . . . . . . . . . 10 (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = (-1↑𝑐(2 / 3))
69 1cubrlem 24485 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
7069simpli 474 . . . . . . . . . 10 (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
7168, 70eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
7267, 71syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
7372eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑛 = (0 + 1) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = (0 + 2))
7574, 31syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = 2)
7675oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (0 + 2) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2))
7776oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)))
7852sqcli 12892 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) ∈ ℂ
7978mulid2i 9995 . . . . . . . . . 10 (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
8069simpri 478 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
8179, 80eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
8277, 81syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
8382eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑛 = (0 + 2) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
8446, 47, 48, 59, 73, 83rextp 4217 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
8538, 45, 843bitri 286 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
8627, 28, 853bitr4g 303 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑅 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
8726, 86bitr4d 271 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ 𝐴𝑅))
8887pm5.32i 668 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑅))
8923, 88bitr4i 267 1 (𝐴𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  wss 3559  {ctp 4157  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889  ici 9890   + caddc 9891   · cmul 9893  cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  3c3 11023  cz 11329  ...cfz 12276  cexp 12808  csqrt 13915  𝑐ccxp 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-cxp 24225
This theorem is referenced by:  cubic  24493
  Copyright terms: Public domain W3C validator