Theorem 1cubrlem 25413

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1cubrlem	⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Proof of Theorem 1cubrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11745	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		neg1ne0 11747	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
3		2re 11705	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		3nn 11710	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		nndivre 11672	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (2 / 3) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
7	6	recni 10649	. . . 4 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
8		cxpef 25242	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))))
9	1, 2, 7, 8	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1)))
10		logm1 25166	. . . . . 6 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
11	10	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = ((2 / 3) · (i · π))
12		ax-icn 10590	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
13		pire 25038	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
14	13	recni 10649	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
15	7, 12, 14	mul12i 10829	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (i · π)) = (i · ((2 / 3) · π))
16	11, 15	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = (i · ((2 / 3) · π))
17	16	fveq2i 6668	. . 3 ⊢ (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))) = (exp‘(i · ((2 / 3) · π)))
18		6nn 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
19		nndivre 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
20	13, 18, 19	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
21	20	recni 10649	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
22		coshalfpip 25074	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6))
24		2cn 11706	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 11735	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
26		divrec2 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (π / 2) = ((1 / 2) · π))
27	14, 24, 25, 26	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = ((1 / 2) · π)
28		6cn 11722	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
29	18	nnne0i 11671	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
30		divrec2 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (π / 6) = ((1 / 6) · π))
31	14, 28, 29, 30	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) = ((1 / 6) · π)
32	27, 31	oveq12i 7162	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
33	24, 25	reccli 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34	28, 29	reccli 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
35	33, 34, 14	adddiri 10648	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
36		halfpm6th 11852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
37	36	simpri 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
38	37	oveq1i 7160	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = ((2 / 3) · π)
39	32, 35, 38	3eqtr2i 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = ((2 / 3) · π)
40	39	fveq2i 6668	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘((2 / 3) · π))
41		sincos6thpi 25095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
42	41	simpli 486	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
43	42	negeqi 10873	. . . . . . 7 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = -(1 / 2)
44		ax-1cn 10589	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		divneg 11326	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
46	44, 24, 25, 45	mp3an 1457	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
47	43, 46	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = (-1 / 2)
48	23, 40, 47	3eqtr3i 2852	. . . . 5 ⊢ (cos‘((2 / 3) · π)) = (-1 / 2)
49		sinhalfpip 25072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6)))
50	21, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
51	39	fveq2i 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (sin‘((2 / 3) · π))
52	41	simpri 488	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
53	50, 51, 52	3eqtr3i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘((2 / 3) · π)) = ((√‘3) / 2)
54	53	oveq2i 7161	. . . . . 6 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = (i · ((√‘3) / 2))
55		3re 11711	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		3nn0 11909	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
57	56	nn0ge0i 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 3
58		resqrtcl 14607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (√‘3) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
60	59	recni 10649	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
61	12, 60, 24, 25	divassi 11390	. . . . . 6 ⊢ ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
62	54, 61	eqtr4i 2847	. . . . 5 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = ((i · (√‘3)) / 2)
63	48, 62	oveq12i 7162	. . . 4 ⊢ ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
64	7, 14	mulcli 10642	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · π) ∈ ℂ
65		efival 15499	. . . . 5 ⊢ (((2 / 3) · π) ∈ ℂ → (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π))))
67	12, 60	mulcli 10642	. . . . 5 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
68	1, 67, 24, 25	divdiri 11391	. . . 4 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
69	63, 66, 68	3eqtr4i 2854	. . 3 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
70	9, 17, 69	3eqtri 2848	. 2 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71		1z 12006	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
72		root1cj 25331	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)))
73	4, 71, 72	mp2an 690	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1))
74		cxpcl 25251	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
75	1, 7, 74	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
76		exp1 13429	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
78	77, 70	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
79	78	fveq2i 6668	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
80	1, 67	addcli 10641	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
81	80, 24	cjdivi 14544	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 → (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)))
82	25, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2))
83	1, 67	cjaddi 14541	. . . . . 6 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3))))
84		neg1rr 11746	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
85		cjre 14492	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-1) = -1
87	12, 60	cjmuli 14542	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = ((∗‘i) · (∗‘(√‘3)))
88		cji 14512	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
89		cjre 14492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘3) ∈ ℝ → (∗‘(√‘3)) = (√‘3))
90	59, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘(√‘3)) = (√‘3)
91	88, 90	oveq12i 7162	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘(√‘3))) = (-i · (√‘3))
92	12, 60	mulneg1i 11080	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · (√‘3)) = -(i · (√‘3))
93	87, 91, 92	3eqtri 2848	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = -(i · (√‘3))
94	86, 93	oveq12i 7162	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3)))) = (-1 + -(i · (√‘3)))
95	1, 67	negsubi 10958	. . . . . 6 ⊢ (-1 + -(i · (√‘3))) = (-1 − (i · (√‘3)))
96	83, 94, 95	3eqtri 2848	. . . . 5 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = (-1 − (i · (√‘3)))
97		cjre 14492	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
98	3, 97	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∗‘2) = 2
99	96, 98	oveq12i 7162	. . . 4 ⊢ ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
100	79, 82, 99	3eqtri 2848	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
101		3m1e2 11759	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
102	101	oveq2i 7161	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
103	73, 100, 102	3eqtr3ri 2853	. 2 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
104	70, 103	pm3.2i 473	1 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536   ≤ cle 10670   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  3c3 11687  6c6 11690  ℤcz 11975  ↑cexp 13423  ∗ccj 14449  √csqrt 14586  expce 15409  sincsin 15411  cosccos 15412  πcpi 15414  logclog 25132  ↑_𝑐ccxp 25133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-cxp 25135

This theorem is referenced by:  1cubr  25414