Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrjat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cvrjat 34580
 Description: An element covered by the lattice unit, when joined with an atom not under it, equals the lattice unit. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrjat.l = (le‘𝐾)
1cvrjat.j = (join‘𝐾)
1cvrjat.u 1 = (1.‘𝐾)
1cvrjat.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1cvrjat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem 1cvrjat
StepHypRef Expression
1 simprr 795 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ¬ 𝑃 𝑋)
2 1cvrjat.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 1cvrjat.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
4 1cvrjat.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
5 1cvrjat.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6 1cvrjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72, 3, 4, 5, 6cvr1 34515 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
87adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
91, 8mpbid 222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑃))
10 simpl1 1062 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 34468 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
13 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐵)
14 hllat 34469 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐴)
172, 6atbase 34395 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐵)
192, 4latjcl 17032 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
2015, 13, 18, 19syl3anc 1324 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
21 eqid 2620 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
222, 21, 5cvrcon3b 34383 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2312, 13, 20, 22syl3anc 1324 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
249, 23mpbid 222 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
25 hlatl 34466 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2610, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ AtLat)
272, 21opoccl 34300 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵)
2812, 20, 27syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵)
292, 21opoccl 34300 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
3012, 13, 29syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
31 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
32 1cvrjat.u . . . . . . . . 9 1 = (1.‘𝐾)
3331, 32, 21opoc1 34308 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
3410, 11, 333syl 18 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
35 simprl 793 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
362, 32op1cl 34291 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
3710, 11, 363syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 1𝐵)
382, 21, 5cvrcon3b 34383 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3912, 13, 37, 38syl3anc 1324 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
4035, 39mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
4134, 40eqbrtrrd 4668 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
422, 31, 5, 6isat 34392 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
4310, 42syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
4430, 41, 43mpbir2and 956 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
452, 3, 31, 5, 6atcvreq0 34420 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
4626, 28, 44, 45syl3anc 1324 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
4724, 46mpbid 222 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾))
4847fveq2d 6182 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
492, 21opococ 34301 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = (𝑋 𝑃))
5012, 20, 49syl2anc 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = (𝑋 𝑃))
5131, 32, 21opoc0 34309 . . 3 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
5210, 11, 513syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
5348, 50, 523eqtr3d 2662 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) = 1 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  lecple 15929  occoc 15930  joincjn 16925  0.cp0 17018  1.cp1 17019  Latclat 17026  OPcops 34278   ⋖ ccvr 34368  Atomscatm 34369  AtLatcal 34370  HLchlt 34456 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457 This theorem is referenced by:  1cvrat  34581  lhpjat1  35125
 Copyright terms: Public domain W3C validator