Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrjat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cvrjat 33582
Description: An element covered by the lattice unit, when joined with an atom not under it, equals the lattice unit. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrjat.l = (le‘𝐾)
1cvrjat.j = (join‘𝐾)
1cvrjat.u 1 = (1.‘𝐾)
1cvrjat.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1cvrjat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem 1cvrjat
StepHypRef Expression
1 simprr 791 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ¬ 𝑃 𝑋)
2 1cvrjat.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 1cvrjat.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
4 1cvrjat.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
5 1cvrjat.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6 1cvrjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72, 3, 4, 5, 6cvr1 33517 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
87adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
91, 8mpbid 220 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑃))
10 simpl1 1056 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 33470 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
13 simpl2 1057 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐵)
14 hllat 33471 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simpl3 1058 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐴)
172, 6atbase 33397 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐵)
192, 4latjcl 16820 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
2015, 13, 18, 19syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
21 eqid 2609 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
222, 21, 5cvrcon3b 33385 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2312, 13, 20, 22syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
249, 23mpbid 220 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
25 hlatl 33468 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2610, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ AtLat)
272, 21opoccl 33302 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵)
2812, 20, 27syl2anc 690 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵)
292, 21opoccl 33302 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
3012, 13, 29syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
31 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
32 1cvrjat.u . . . . . . . . 9 1 = (1.‘𝐾)
3331, 32, 21opoc1 33310 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
3410, 11, 333syl 18 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
35 simprl 789 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
362, 32op1cl 33293 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
3710, 11, 363syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 1𝐵)
382, 21, 5cvrcon3b 33385 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3912, 13, 37, 38syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
4035, 39mpbid 220 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
4134, 40eqbrtrrd 4601 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
422, 31, 5, 6isat 33394 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
4310, 42syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
4430, 41, 43mpbir2and 958 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
452, 3, 31, 5, 6atcvreq0 33422 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
4626, 28, 44, 45syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
4724, 46mpbid 220 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾))
4847fveq2d 6092 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
492, 21opococ 33303 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = (𝑋 𝑃))
5012, 20, 49syl2anc 690 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = (𝑋 𝑃))
5131, 32, 21opoc0 33311 . . 3 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
5210, 11, 513syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
5348, 50, 523eqtr3d 2651 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  occoc 15722  joincjn 16713  0.cp0 16806  1.cp1 16807  Latclat 16814  OPcops 33280  ccvr 33370  Atomscatm 33371  AtLatcal 33372  HLchlt 33458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33284  df-ol 33286  df-oml 33287  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459
This theorem is referenced by:  1cvrat  33583  lhpjat1  34127
  Copyright terms: Public domain W3C validator