Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1egrvtxdg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1egrvtxdg1 26325
 Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1egrvtxdg1.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a (𝜑𝐴𝑋)
1egrvtxdg1.b (𝜑𝐵𝑉)
1egrvtxdg1.c (𝜑𝐶𝑉)
1egrvtxdg1.n (𝜑𝐵𝐶)
1egrvtxdg1.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
Assertion
Ref Expression
1egrvtxdg1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1egrvtxdg1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 1egrvtxdg1.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
3 1egrvtxdg1.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
4 1egrvtxdg1.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
53, 4eleqtrrd 2701 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 1egrvtxdg1.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
76, 4eleqtrrd 2701 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
8 1egrvtxdg1.i . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
9 1egrvtxdg1.n . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
101, 2, 5, 7, 8, 9usgr1e 26064 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ USGraph )
11 eqid 2621 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
12 eqid 2621 . . . 4 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
13 eqid 2621 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
141, 11, 12, 13vtxdusgrval 26303 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
1510, 5, 14syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
16 dmeq 5294 . . . . . . . 8 ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18 prex 4880 . . . . . . . 8 {𝐵, 𝐶} ∈ V
19 dmsnopg 5575 . . . . . . . 8 ({𝐵, 𝐶} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
2018, 19mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
2117, 20eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22 fveq1 6157 . . . . . . . 8 ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥))
2322eleq2d 2684 . . . . . . 7 ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → (𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)))
2423adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)))
2521, 24rabeqbidv 3185 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)})
2625fveq2d 6162 . . . 4 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}))
27 fveq2 6158 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴))
2827eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴)))
2928rabsnif 4235 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = if(𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴), {𝐴}, ∅)
30 prid1g 4272 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑉𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
313, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
32 fvsng 6412 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
332, 18, 32sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
3431, 33eleqtrrd 2701 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴))
3534iftrued 4072 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
3629, 35syl5eq 2667 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = {𝐴})
3736fveq2d 6162 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = (#‘{𝐴}))
38 hashsng 13115 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (#‘{𝐴}) = 1)
392, 38syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘{𝐴}) = 1)
4037, 39eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = 1)
4140adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = 1)
4226, 41eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
438, 42mpdan 701 . 2 (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
4415, 43eqtrd 2655 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2912  Vcvv 3190  ∅c0 3897  ifcif 4064  {csn 4155  {cpr 4157  ⟨cop 4161  dom cdm 5084  ‘cfv 5857  1c1 9897  #chash 13073  Vtxcvtx 25808  iEdgciedg 25809   USGraph cusgr 25971  VtxDegcvtxdg 26282 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-xadd 11907  df-fz 12285  df-hash 13074  df-edg 25874  df-upgr 25907  df-umgr 25908  df-uspgr 25972  df-usgr 25973  df-vtxdg 26283 This theorem is referenced by:  1egrvtxdg1r  26326
 Copyright terms: Public domain W3C validator