MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1elcpmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1elcpmat 20448
Description: The identity of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅 is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmatsrngpmat.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
1elcpmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 1elcpmat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2ringidcl 18496 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
43ancli 573 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
54adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
65ad2antrl 763 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
7 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 cpmatsrngpmat.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
9 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10 eqid 2621 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
111, 7, 8, 9, 10cply1coe0 19597 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
13 iftrue 4069 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))
1413fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))))
1514fveq1d 6155 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛))
1615eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1716ralbidv 2981 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1912, 18mpbird 247 . . . . 5 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
201, 7ring0cl 18497 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2120ancli 573 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
2221adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
231, 7, 8, 9, 10cply1coe0 19597 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
2524ad2antrl 763 . . . . . 6 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
26 iffalse 4072 . . . . . . . . . . 11 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
2827fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
2928fveq1d 6155 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛))
3029eqeq1d 2623 . . . . . . 7 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3130ralbidv 2981 . . . . . 6 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3225, 31mpbird 247 . . . . 5 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
3319, 32pm2.61ian 830 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
3433ralrimivva 2966 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
35 cpmatsrngpmat.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
36 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
37 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
38 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
39 simprr 795 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
40 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (1r𝐶) = (1r𝐶)
418, 35, 10, 7, 2, 36, 37, 38, 39, 40pmat1ovscd 20433 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(1r𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
4241fveq2d 6157 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗)) = (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))))
4342fveq1d 6155 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛))
4443eqeq1d 2623 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4544ralbidv 2981 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
46452ralbidva 2983 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4734, 46mpbird 247 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
488, 35pmatring 20426 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
49 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5049, 40ringidcl 18496 . . . 4 (𝐶 ∈ Ring → (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
5148, 50syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
52 cpmatsrngpmat.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
5352, 8, 35, 49cpmatel 20444 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶)) → ((1r𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
5451, 53mpd3an3 1422 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
5547, 54mpbird 247 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  ifcif 4063  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  cn 10971  Basecbs 15788  0gc0g 16028  1rcur 18429  Ringcrg 18475  algSccascl 19239  Poly1cpl1 19475  coe1cco1 19476   Mat cmat 20141   ConstPolyMat ccpmat 20436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-hom 15894  df-cco 15895  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-prds 16036  df-pws 16038  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-ghm 17586  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-subrg 18706  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-ascl 19242  df-psr 19284  df-mvr 19285  df-mpl 19286  df-opsr 19288  df-psr1 19478  df-vr1 19479  df-ply1 19480  df-coe1 19481  df-dsmm 20004  df-frlm 20019  df-mamu 20118  df-mat 20142  df-cpmat 20439
This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  20453  cpmatsrgpmat  20454
  Copyright terms: Public domain W3C validator