Theorem 1hegrlfgr 44006

Description: A graph 𝐺 with one hyperedge joining at least two vertices is a loop-free graph. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrlfgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrlfgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrlfgr.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrlfgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrlfgr.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hegrlfgr	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem 1hegrlfgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrlfgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		1hegrlfgr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
3		f1osng 6654	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
4	1, 2, 3	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
5		f1of 6614	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸} → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
7		1hegrlfgr.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
8		1hegrlfgr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		prid1g 4695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
11	7, 10	sseldd 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12		1hegrlfgr.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		prid2g 4696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
15	7, 14	sseldd 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐸)
16		1hegrlfgr.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
17	2, 11, 15, 16	nehash2 13831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
18		fveq2 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
19	18	breq2d 5077	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
20	19	elrab 3679	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
21	2, 17, 20	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
22	21	snssd 4741	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
23	6, 22	fssd 6527	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
24		1hegrlfgr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
25	24	feq1d 6498	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
26	23, 25	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  {crab 3142   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538  {csn 4566  {cpr 4568  ⟨cop 4572   class class class wbr 5065  ⟶wf 6350  –1-1-onto→wf1o 6353  ‘cfv 6354   ≤ cle 10675  2c2 11691  ♯chash 13689  iEdgciedg 26781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-hash 13690

This theorem is referenced by: (None)