Theorem 1loopgrnb0 27286

Description: In a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has no neighbors. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1loopgrnb0	⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)

Proof of Theorem 1loopgrnb0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgruspgr.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1loopgruspgr.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		1loopgruspgr.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5	1, 2, 3, 4	1loopgruspgr 27284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
6		uspgrupgr 26963	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
8	1	eleq2d 2900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
9	3, 8	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
10		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
12	10, 11	nbupgr 27128	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
13	7, 9, 12	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
14	1	difeq1d 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
15	14	eleq2d 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
16		eldifsn 4721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑁))
17	3	elexd 3516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
18	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ V)
19		elex 3514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ V)
20	19	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ V)
21	18, 20	preqsnd 4791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} ↔ (𝑁 = 𝑁 ∧ 𝑣 = 𝑁)))
22		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 𝑁 ∧ 𝑣 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑁)
23	21, 22	syl6bi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} → 𝑣 = 𝑁))
24	23	necon3ad 3031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ≠ 𝑁 → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
25	24	expimpd 456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑁) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
26	16, 25	syl5bi 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
27	15, 26	sylbid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
28	27	imp 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
29	1, 2, 3, 4	1loopgredg 27285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
30	29	eleq2d 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}}))
31		prex 5335	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑁, 𝑣} ∈ V
32	31	elsn 4584	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}} ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
33	30, 32	syl6bb 289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
34	33	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
35	34	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
36	28, 35	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
37	36	ralrimiva 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
38		rabeq0 4340	. . 3 ⊢ ({𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
39	37, 38	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅)
40	13, 39	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  {crab 3144  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935  ∅c0 4293  {csn 4569  {cpr 4571  ⟨cop 4575  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Vtxcvtx 26783  iEdgciedg 26784  Edgcedg 26834  UPGraphcupgr 26867  USPGraphcuspgr 26935   NeighbVtx cnbgr 27116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694  df-edg 26835  df-upgr 26869  df-uspgr 26937  df-nbgr 27117

This theorem is referenced by:  uspgrloopnb0  27303