MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1loopgrnb0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrnb0 26454
Description: In a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has no neighbors. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
Assertion
Ref Expression
1loopgrnb0 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)

Proof of Theorem 1loopgrnb0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2 1loopgruspgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
3 1loopgruspgr.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑉)
4 1loopgruspgr.i . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
51, 2, 3, 41loopgruspgr 26452 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
6 uspgrupgr 26116 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
81eleq2d 2716 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑁𝑉))
93, 8mpbird 247 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
10 eqid 2651 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11 eqid 2651 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1210, 11nbupgr 26285 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
137, 9, 12syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)})
141difeq1d 3760 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
1514eleq2d 2716 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
16 eldifsn 4350 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑣𝑉𝑣𝑁))
173elexd 3245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ V)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑁 ∈ V)
19 elex 3243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣𝑉𝑣 ∈ V)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ V)
2118, 20, 18preqsnd 4423 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} ↔ (𝑁 = 𝑁𝑣 = 𝑁)))
22 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 𝑁𝑣 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑁)
2321, 22syl6bi 243 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝑉) → ({𝑁, 𝑣} = {𝑁} → 𝑣 = 𝑁))
2423necon3ad 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑣𝑁 → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2524expimpd 628 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑣𝑉𝑣𝑁) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2616, 25syl5bi 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2715, 26sylbid 230 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
2827imp 444 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
291, 2, 3, 41loopgredg 26453 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
3029eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}}))
31 prex 4939 . . . . . . . . 9 {𝑁, 𝑣} ∈ V
3231elsn 4225 . . . . . . . 8 ({𝑁, 𝑣} ∈ {{𝑁}} ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁})
3330, 32syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
3433notbid 307 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
3534adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → (¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑣} = {𝑁}))
3628, 35mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁})) → ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
3736ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
38 rabeq0 3990 . . 3 ({𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ¬ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
3937, 38sylibr 224 . 2 (𝜑 → {𝑣 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑁}) ∣ {𝑁, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)} = ∅)
4013, 39eqtrd 2685 1 (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216  cfv 5926  (class class class)co 6690  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Edgcedg 25984  UPGraphcupgr 26020  USPGraphcuspgr 26088   NeighbVtx cnbgr 26269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-upgr 26022  df-uspgr 26090  df-nbgr 26270
This theorem is referenced by:  uspgrloopnb0  26471
  Copyright terms: Public domain W3C validator