Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1loopgrvd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrvd2 40720
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
Assertion
Ref Expression
1loopgrvd2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2
Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2 1loopgruspgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
3 1loopgruspgr.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑉)
4 1loopgruspgr.i . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
51, 2, 3, 41loopgruspgr 40717 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph )
6 uspgrushgr 40407 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph )
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ USHGraph )
83, 1eleqtrrd 2690 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
9 eqid 2609 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10 eqid 2609 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11 eqid 2609 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
129, 10, 11vtxdushgrfvedg 40707 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
137, 8, 12syl2anc 690 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
14 snex 4830 . . . . . . . 8 {𝑁} ∈ V
15 sneq 4134 . . . . . . . . 9 (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
1615eqeq2d 2619 . . . . . . . 8 (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
17 eqid 2609 . . . . . . . 8 {{𝑁}} = {{𝑁}}
1814, 16, 17ceqsexv2d 3215 . . . . . . 7 𝑎{{𝑁}} = {𝑎}
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
20 snidg 4152 . . . . . . . . . 10 (𝑁𝑉𝑁 ∈ {𝑁})
213, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ {𝑁})
2221iftrued 4043 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
2322eqeq1d 2611 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
2423exbidv 1836 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
2519, 24mpbird 245 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
261, 2, 3, 41loopgredg 40718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
2726rabeqdv 3166 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁𝑒})
28 eleq2 2676 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} → (𝑁𝑒𝑁 ∈ {𝑁}))
2928rabsnif 4201 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
3027, 29syl6eq 2659 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
3130eqeq1d 2611 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
3231exbidv 1836 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
3325, 32mpbird 245 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎})
34 fvex 6098 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) ∈ V
3534rabex 4735 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} ∈ V
36 hash1snb 13020 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} ∈ V → ((#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎}))
3735, 36ax-mp 5 . . . 4 ((#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎})
3833, 37sylibr 222 . . 3 (𝜑 → (#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1)
39 eqid 2609 . . . . . . . . 9 {𝑁} = {𝑁}
4039iftruei 4042 . . . . . . . 8 if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
4140eqeq1i 2614 . . . . . . 7 (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
4241exbii 1763 . . . . . 6 (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
4319, 42sylibr 222 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
4426rabeqdv 3166 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
45 eqeq1 2613 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
4645rabsnif 4201 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
4744, 46syl6eq 2659 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
4847eqeq1d 2611 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
4948exbidv 1836 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
5043, 49mpbird 245 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
5134rabex 4735 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V
52 hash1snb 13020 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V → ((#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎}))
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 ((#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
5450, 53sylibr 222 . . 3 (𝜑 → (#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
5538, 54oveq12d 6545 . 2 (𝜑 → ((#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (#‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 +𝑒 1))
56 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
57 rexadd 11896 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
5856, 56, 57mp2an 703 . . . 4 (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
59 1p1e2 10981 . . . 4 (1 + 1) = 2
6058, 59eqtri 2631 . . 3 (1 +𝑒 1) = 2
6160a1i 11 . 2 (𝜑 → (1 +𝑒 1) = 2)
6213, 55, 613eqtrd 2647 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  {crab 2899  Vcvv 3172  c0 3873  ifcif 4035  {csn 4124  cop 4130  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795  2c2 10917   +𝑒 cxad 11776  #chash 12934  Vtxcvtx 40231  iEdgciedg 40232   USHGraph cushgr 40281  Edgcedga 40353   USPGraph cuspgr 40380  VtxDegcvtxdg 40683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-xadd 11779  df-fz 12153  df-hash 12935  df-uhgr 40282  df-ushgr 40283  df-edga 40354  df-uspgr 40382  df-vtxdg 40684
This theorem is referenced by:  uspgrloopvd2  40738  eupth2lem3lem3  41400
  Copyright terms: Public domain W3C validator