Theorem 1lt2pi 9919

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7888	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		nna0 7853	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜
4		0lt1o 7753	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
5		peano1 7250	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		nnaord 7868	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1573	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
8	4, 7	mpbi 220	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
9	3, 8	eqeltrri 2836	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
10		1pi 9897	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
11		addpiord 9898	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
12	10, 10, 11	mp2an 710	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
13	9, 12	eleqtrri 2838	. 2 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)
14		addclpi 9906	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N)
15	10, 10, 14	mp2an 710	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N
16		ltpiord 9901	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N) → (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)))
17	10, 15, 16	mp2an 710	. 2 ⊢ (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜))
18	13, 17	mpbir 221	1 ⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ωcom 7230  1_𝑜c1o 7722   +_𝑜 coa 7726  Ncnpi 9858   +_N cpli 9859   <_N clti 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-ni 9886  df-pli 9887  df-lti 9889

This theorem is referenced by:  1lt2nq  9987