MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1lt2pi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1lt2pi 9919
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 7888 . . . . 5 1𝑜 ∈ ω
2 nna0 7853 . . . . 5 (1𝑜 ∈ ω → (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜
4 0lt1o 7753 . . . . 5 ∅ ∈ 1𝑜
5 peano1 7250 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 nnaord 7868 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)))
75, 1, 1, 6mp3an 1573 . . . . 5 (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
84, 7mpbi 220 . . . 4 (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
93, 8eqeltrri 2836 . . 3 1𝑜 ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
10 1pi 9897 . . . 4 1𝑜N
11 addpiord 9898 . . . 4 ((1𝑜N ∧ 1𝑜N) → (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
1210, 10, 11mp2an 710 . . 3 (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
139, 12eleqtrri 2838 . 2 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)
14 addclpi 9906 . . . 4 ((1𝑜N ∧ 1𝑜N) → (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N)
1510, 10, 14mp2an 710 . . 3 (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N
16 ltpiord 9901 . . 3 ((1𝑜N ∧ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N) → (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)))
1710, 15, 16mp2an 710 . 2 (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜))
1813, 17mpbir 221 1 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  c0 4058   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ωcom 7230  1𝑜c1o 7722   +𝑜 coa 7726  Ncnpi 9858   +N cpli 9859   <N clti 9861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-ni 9886  df-pli 9887  df-lti 9889
This theorem is referenced by:  1lt2nq  9987
  Copyright terms: Public domain W3C validator