Theorem 1lt2pi 9583

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7583	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		nna0 7548	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜
4		0lt1o 7448	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
5		peano1 6954	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		nnaord 7563	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1415	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
8	4, 7	mpbi 218	. . . 4 ⊢ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
9	3, 8	eqeltrri 2684	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
10		1pi 9561	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
11		addpiord 9562	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
12	10, 10, 11	mp2an 703	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
13	9, 12	eleqtrri 2686	. 2 ⊢ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)
14		addclpi 9570	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N)
15	10, 10, 14	mp2an 703	. . 3 ⊢ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N
16		ltpiord 9565	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N) → (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)))
17	10, 15, 16	mp2an 703	. 2 ⊢ (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜))
18	13, 17	mpbir 219	1 ⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Syntax hints:   ↔ wb 194   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∅c0 3873   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  ωcom 6934  1_𝑜c1o 7417   +_𝑜 coa 7421  Ncnpi 9522   +_N cpli 9523   <_N clti 9525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-ni 9550  df-pli 9551  df-lti 9553

This theorem is referenced by:  1lt2nq  9651