Theorem 1mhdrd 30594

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11915	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 11924	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 11916	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12123	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2832	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12108	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12123	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2832	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12108	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 11740	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addid1i 10829	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7168	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12103	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12156	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 30590	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 30556	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7169	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 30579	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2850	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542  9c9 11702  ;cdc 12101  _cdp2 30549  .cdp 30566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-dec 12102  df-dp2 30550  df-dp 30567

This theorem is referenced by: (None)