Theorem 1odd 42136

Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
1odd	⊢ 1 ∈ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1odd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11445	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		0z 11426	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
4		oveq2 6698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5		2t0e0 11221	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 0) = 0
6	4, 5	syl6eq 2701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
7	6	oveq1d 6705	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((2 · 𝑥) + 1) = (0 + 1))
8	7	eqeq2d 2661	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = 0) → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
10		1e0p1 11590	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 1 = (0 + 1))
12	3, 9, 11	rspcedvd 3348	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1))
13	2, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)
14		eqeq1 2655	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
15	14	rexbidv 3081	. . 3 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
16		oddinmgm.e	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
17	15, 16	elrab2 3399	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
18	1, 13, 17	mpbir2an 975	1 ⊢ 1 ∈ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  {crab 2945  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  2c2 11108  ℤcz 11415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-z 11416

This theorem is referenced by:  oddinmgm  42140