Theorem 1onn 8259

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1o ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8096	. 2 ⊢ 1o = suc ∅
2		peano1 7595	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 7596	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2909	1 ⊢ 1o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  ∅c0 4290  suc csuc 6187  ωcom 7574  1_oc1o 8089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-om 7575  df-1o 8096

This theorem is referenced by:  2onn  8260  1one2o  8263  oaabs2  8266  omabs  8268  nnm2  8270  nnneo  8272  nneob  8273  snfi  8588  snnen2o  8701  1sdom2  8711  1sdom  8715  unxpdom2  8720  en1eqsn  8742  en2  8748  pwfi  8813  wofib  9003  oancom  9108  cnfcom3clem  9162  djurf1o  9336  card1  9391  pm54.43lem  9422  en2eleq  9428  en2other2  9429  infxpenlem  9433  infxpenc2lem1  9439  sdom2en01  9718  cfpwsdom  10000  canthp1lem2  10069  gchdju1  10072  pwxpndom2  10081  pwdjundom  10083  1pi  10299  1lt2pi  10321  indpi  10323  hash2  13760  hash1snb  13774  fnpr2o  16824  fvpr1o  16827  f1otrspeq  18569  pmtrf  18577  pmtrmvd  18578  pmtrfinv  18583  lt6abl  19009  isnzr2  20030  vr1cl  20379  ply1coe  20458  frgpcyg  20714  isppw  25685  bnj906  32197  sat1el2xp  32621  satfv1fvfmla1  32665  satefvfmla1  32667  ex-sategoelelomsuc  32668  ex-sategoelel12  32669  finxpreclem1  34664  finxpreclem2  34665  finxp1o  34667  finxpreclem4  34669  finxp2o  34674  domalom  34679