MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2nd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1st2nd2 7157
Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
1st2nd2 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd2
StepHypRef Expression
1 elxp6 7152 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∧ ((1st𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (2nd𝐴) ∈ 𝐶)))
21simplbi 476 1 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4159   × cxp 5077  cfv 5852  1st c1st 7118  2nd c2nd 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fv 5860  df-1st 7120  df-2nd 7121
This theorem is referenced by:  1st2ndb  7158  xpopth  7159  eqop  7160  2nd1st  7165  1st2nd  7166  opiota  7181  disjen  8069  xpmapenlem  8079  mapunen  8081  r0weon  8787  enqbreq2  9694  nqereu  9703  lterpq  9744  elreal2  9905  cnref1o  11779  ruclem6  14900  ruclem8  14902  ruclem9  14903  ruclem12  14906  eucalgval  15230  eucalginv  15232  eucalglt  15233  eucalg  15235  qnumdenbi  15387  isstruct2  15801  xpsff1o  16160  comfffval2  16293  comfeq  16298  idfucl  16473  funcpropd  16492  coapm  16653  xpccatid  16760  1stfcl  16769  2ndfcl  16770  1st2ndprf  16778  xpcpropd  16780  evlfcl  16794  hofcl  16831  hofpropd  16839  yonedalem3  16852  gsum2dlem2  18302  mdetunilem9  20358  tx1cn  21335  tx2cn  21336  txdis  21358  txlly  21362  txnlly  21363  txhaus  21373  txkgen  21378  txconn  21415  utop3cls  21978  ucnima  22008  fmucndlem  22018  psmetxrge0  22041  imasdsf1olem  22101  cnheiborlem  22676  caublcls  23030  bcthlem1  23044  bcthlem2  23045  bcthlem4  23047  bcthlem5  23048  ovolfcl  23158  ovolfioo  23159  ovolficc  23160  ovolficcss  23161  ovolfsval  23162  ovolicc2lem1  23208  ovolicc2lem5  23212  ovolfs2  23262  uniiccdif  23269  uniioovol  23270  uniiccvol  23271  uniioombllem2a  23273  uniioombllem2  23274  uniioombllem3a  23275  uniioombllem3  23276  uniioombllem4  23277  uniioombllem5  23278  uniioombllem6  23279  dyadmbl  23291  fsumvma  24855  ofpreima  29331  ofpreima2  29332  fimaproj  29706  1stmbfm  30127  2ndmbfm  30128  sibfof  30207  oddpwdcv  30222  txsconnlem  30965  mpst123  31180  bj-elid  32753  poimirlem4  33080  poimirlem26  33102  poimirlem27  33103  mblfinlem1  33113  mblfinlem2  33114  ftc2nc  33161  heiborlem8  33284  dvhgrp  35911  dvhlveclem  35912  fvovco  38886  dvnprodlem1  39494  volioof  39537  fvvolioof  39539  fvvolicof  39541  etransclem44  39828  ovolval3  40194  ovolval4lem1  40196  ovolval5lem2  40200  ovnovollem1  40203  ovnovollem2  40204  smfpimbor1lem1  40338
  Copyright terms: Public domain W3C validator