MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2ndbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1st2ndbr 7730
Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
1st2ndbr ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → (1st𝐴)𝐵(2nd𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr
StepHypRef Expression
1 1st2nd 7727 . . 3 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
2 simpr 485 . . 3 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
31, 2eqeltrrd 2911 . 2 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4 df-br 5058 . 2 ((1st𝐴)𝐵(2nd𝐴) ↔ ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
53, 4sylibr 235 1 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → (1st𝐴)𝐵(2nd𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  cop 4563   class class class wbr 5057  Rel wrel 5553  cfv 6348  1st c1st 7676  2nd c2nd 7677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-1st 7678  df-2nd 7679
This theorem is referenced by:  cofuval  17140  cofu1  17142  cofu2  17144  cofucl  17146  cofuass  17147  cofulid  17148  cofurid  17149  funcres  17154  cofull  17192  cofth  17193  isnat2  17206  fuccocl  17222  fucidcl  17223  fuclid  17224  fucrid  17225  fucass  17226  fucsect  17230  fucinv  17231  invfuc  17232  fuciso  17233  natpropd  17234  fucpropd  17235  homahom  17287  homadm  17288  homacd  17289  homadmcd  17290  catciso  17355  prfval  17437  prfcl  17441  prf1st  17442  prf2nd  17443  1st2ndprf  17444  evlfcllem  17459  evlfcl  17460  curf1cl  17466  curf2cl  17469  curfcl  17470  uncf1  17474  uncf2  17475  curfuncf  17476  uncfcurf  17477  diag1cl  17480  diag2cl  17484  curf2ndf  17485  yon1cl  17501  oyon1cl  17509  yonedalem1  17510  yonedalem21  17511  yonedalem3a  17512  yonedalem4c  17515  yonedalem22  17516  yonedalem3b  17517  yonedalem3  17518  yonedainv  17519  yonffthlem  17520  yoniso  17523  utop2nei  22786  utop3cls  22787
  Copyright terms: Public domain W3C validator