MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2ndbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1st2ndbr 7169
Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
1st2ndbr ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → (1st𝐴)𝐵(2nd𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr
StepHypRef Expression
1 1st2nd 7166 . . 3 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
2 simpr 477 . . 3 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
31, 2eqeltrrd 2699 . 2 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4 df-br 4619 . 2 ((1st𝐴)𝐵(2nd𝐴) ↔ ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
53, 4sylibr 224 1 ((Rel 𝐵𝐴𝐵) → (1st𝐴)𝐵(2nd𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  cop 4159   class class class wbr 4618  Rel wrel 5084  cfv 5852  1st c1st 7118  2nd c2nd 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fv 5860  df-1st 7120  df-2nd 7121
This theorem is referenced by:  cofuval  16474  cofu1  16476  cofu2  16478  cofucl  16480  cofuass  16481  cofulid  16482  cofurid  16483  funcres  16488  cofull  16526  cofth  16527  isnat2  16540  fuccocl  16556  fucidcl  16557  fuclid  16558  fucrid  16559  fucass  16560  fucsect  16564  fucinv  16565  invfuc  16566  fuciso  16567  natpropd  16568  fucpropd  16569  homahom  16621  homadm  16622  homacd  16623  homadmcd  16624  catciso  16689  prfval  16771  prfcl  16775  prf1st  16776  prf2nd  16777  1st2ndprf  16778  evlfcllem  16793  evlfcl  16794  curf1cl  16800  curf2cl  16803  curfcl  16804  uncf1  16808  uncf2  16809  curfuncf  16810  uncfcurf  16811  diag1cl  16814  diag2cl  16818  curf2ndf  16819  yon1cl  16835  oyon1cl  16843  yonedalem1  16844  yonedalem21  16845  yonedalem3a  16846  yonedalem4c  16849  yonedalem22  16850  yonedalem3b  16851  yonedalem3  16852  yonedainv  16853  yonffthlem  16854  yoniso  16857  utop2nei  21977  utop3cls  21978
  Copyright terms: Public domain W3C validator