MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stccn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stccn 21018
Description: A mapping 𝑋𝑌, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to 𝑥, its image under 𝐹 converges to 𝐹(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1 (𝜑𝐽 ∈ 1st𝜔)
1stccnp.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccn.7 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
1stccn (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 1stccnp.3 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 cncnp 20836 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
41, 2, 3syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
5 1stccn.7 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
65biantrurd 527 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
74, 6bitr4d 269 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥)))
8 1stccnp.1 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ 1st𝜔)
98adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
101adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
112adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
12 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
139, 10, 11, 121stccnp 21017 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
145adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋𝑌)
1514biantrurd 527 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
1613, 15bitr4d 269 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
1716ralbidva 2967 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝑋𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
18 ralcom4 3196 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑓𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))
19 impexp 460 . . . . . . 7 (((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
2019ralbii 2962 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
21 r19.21v 2942 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
2220, 21bitri 262 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
23 df-ral 2900 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
24 lmcl 20853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
251, 24sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
2625ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥𝑥𝑋))
2726pm4.71rd 664 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ (𝑥𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
2827imbi1d 329 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ((𝑥𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
29 impexp 460 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ (𝑥𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
3028, 29syl6rbb 275 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))) ↔ (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
3130albidv 1835 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥(𝑥𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
3223, 31syl5bb 270 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
3332imbi2d 328 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
3422, 33syl5bb 270 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
3534albidv 1835 . . 3 (𝜑 → (∀𝑓𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
3618, 35syl5bb 270 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
377, 17, 363bitrd 292 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wal 1472  wcel 1976  wral 2895   class class class wbr 4577  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cn 10867  TopOnctopon 20460   Cn ccn 20780   CnP ccnp 20781  𝑡clm 20782  1st𝜔c1stc 20992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-topgen 15873  df-top 20463  df-topon 20465  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-lm 20785  df-1stc 20994
This theorem is referenced by:  metcn4  22834
  Copyright terms: Public domain W3C validator