Theorem 1to3vfriswmgr 28061

Description: Every friendship graph with one, two or three vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3vfriswmgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1to3vfriswmgr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶   𝑤,𝐸   𝑤,𝐺   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝐴,ℎ,𝑣,𝑤   𝐵,ℎ,𝑣   𝐶,ℎ,𝑣   ℎ,𝐸,𝑣   ℎ,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,ℎ)   𝑋(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem 1to3vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3or 1084	. . 3 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ↔ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
2		3vfriswmgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		3vfriswmgr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	1to2vfriswmgr 28060	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
5	4	expcom 416	. . . 4 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
6		tppreq3 4697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
7	6	eqeq2d 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
8		olc 864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
9	8	anim1ci 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵})))
10	9, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
11	10	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
12	7, 11	syl6bi 255	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
13		tpprceq3 4739	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴})
14		tprot 4687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
15	14	eqeq1i 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
16	15	biimpi 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐴})
17		prcom 4670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐶, 𝐴} = {𝐴, 𝐶}
18	16, 17	syl6eq 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶})
19	18	eqeq2d 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
20		olc 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}))
21	2, 3	1to2vfriswmgr 28060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
22	20, 21	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
23	22	expcom 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
24	19, 23	syl6bi 255	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
25	13, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
26	25	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
27		tpprceq3 4739	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
28		tpcoma 4688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
29	28	eqeq1i 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
30	29	biimpi 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
31		prcom 4670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
32	30, 31	syl6eq 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
33	32	eqeq2d 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}))
34	8, 4	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
35	34	expcom 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
36	35	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
37	33, 36	syl6bi 255	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴} → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
38	27, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
39	38	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
40		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
42	40, 41	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
43	42	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
44	43	anim1ci 617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
45		3anass 1091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
46	44, 45	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
47		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐵 ≠ 𝐴)
48	47	necomd 3073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
49		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
50	49	necomd 3073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐶)
51	48, 50	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
52	51	anim1i 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
53		df-3an 1085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
54	52, 53	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
55	54	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
56		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
57	2, 3	3vfriswmgr 28059	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
58	46, 55, 56, 57	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
59	58	exp41 437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))))
60	26, 39, 59	ecase 1028	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))))
61	12, 60	pm2.61ine 3102	. . . 4 ⊢ (𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
62	5, 61	jaoi 853	. . 3 ⊢ (((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵}) ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
63	1, 62	sylbi 219	. 2 ⊢ ((𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))))
64	63	impcom 410	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑉 = {𝐴} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵} ∨ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ℎ ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ})({𝑣, ℎ} ∈ 𝐸 ∧ ∃!𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {ℎ}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∨ w3o 1082   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  ∃!wreu 3142  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935  {csn 4569  {cpr 4571  {ctp 4573  ‘cfv 6357  Vtxcvtx 26783  Edgcedg 26834   FriendGraph cfrgr 28039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694  df-edg 26835  df-umgr 26870  df-usgr 26938  df-frgr 28040

This theorem is referenced by:  1to3vfriendship  28062