Theorem 1vgrex 26781

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6698	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2		1vgrex.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	eleq2s 2931	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495  ‘cfv 6350  Vtxcvtx 26775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-nul 5203  ax-pow 5259

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-dm 5560  df-iota 6309  df-fv 6358

This theorem is referenced by:  upgr1e  26892  uspgr1e  27020  nbgrval  27112  cplgr1vlem  27205  vtxdgval  27244  vtxdgelxnn0  27248  wlkson  27432  trlsonfval  27481  pthsonfval  27515  spthson  27516  2wlkd  27709  is0wlk  27890  0wlkon  27893  is0trl  27896  0trlon  27897  0pthon  27900  0clwlkv  27904  1wlkd  27914  3wlkd  27943  wlkl0  28140