Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1wlkdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkdlem1 26880
 Description: Lemma 1 for 1wlkd 26884. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x (𝜑𝑋𝑉)
1wlkd.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
1wlkdlem1 (𝜑𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)

Proof of Theorem 1wlkdlem1
StepHypRef Expression
1 1wlkd.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2 1wlkd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
31, 2s2cld 13560 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4 wrdf 13257 . . . 4 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(#‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉)
5 1z 11359 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
6 fzval3 12485 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (0...1) = (0..^(1 + 1)))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (0...1) = (0..^(1 + 1))
8 1wlkd.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
98fveq2i 6156 . . . . . . . . 9 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽”⟩)
10 s1len 13332 . . . . . . . . 9 (#‘⟨“𝐽”⟩) = 1
119, 10eqtri 2643 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = 1
1211oveq2i 6621 . . . . . . 7 (0...(#‘𝐹)) = (0...1)
13 s2len 13578 . . . . . . . . 9 (#‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
14 df-2 11031 . . . . . . . . 9 2 = (1 + 1)
1513, 14eqtri 2643 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = (1 + 1)
1615oveq2i 6621 . . . . . . 7 (0..^(#‘⟨“𝑋𝑌”⟩)) = (0..^(1 + 1))
177, 12, 163eqtr4i 2653 . . . . . 6 (0...(#‘𝐹)) = (0..^(#‘⟨“𝑋𝑌”⟩))
1817a1i 11 . . . . 5 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (0...(#‘𝐹)) = (0..^(#‘⟨“𝑋𝑌”⟩)))
1918feq2d 5993 . . . 4 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(#‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉))
204, 19mpbird 247 . . 3 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
213, 20syl 17 . 2 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
22 1wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2322feq1i 5998 . 2 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
2421, 23sylibr 224 1 (𝜑𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  2c2 11022  ℤcz 11329  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238  ⟨“cs1 13241  ⟨“cs2 13531 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538 This theorem is referenced by:  1wlkd  26884
 Copyright terms: Public domain W3C validator