MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1wlkdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkdlem4 27292
Description: Lemma 4 for 1wlkd 27293. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x (𝜑𝑋𝑉)
1wlkd.y (𝜑𝑌𝑉)
1wlkd.l ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
Assertion
Ref Expression
1wlkdlem4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 1wlkdlem4
StepHypRef Expression
1 1wlkd.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
21fveq1i 6353 . . . . . . . . 9 (𝐹‘0) = (⟨“𝐽”⟩‘0)
3 1wlkd.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
4 1wlkd.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
5 1wlkd.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑉)
6 1wlkd.l . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
7 1wlkd.j . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
83, 1, 4, 5, 6, 71wlkdlem2 27290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐽))
98elfvexd 6383 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ V)
10 s1fv 13581 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
122, 11syl5eq 2806 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐽)
1312fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼𝐽))
1413adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼𝐽))
1514, 6eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋})
16 df-ne 2933 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑌)
1716, 7sylan2br 494 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
1813adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼𝐽))
1917, 18sseqtr4d 3783 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))
2015, 19ifpimpda 1066 . . . 4 (𝜑 → if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
213fveq1i 6353 . . . . . 6 (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
22 s2fv0 13832 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
2421, 23syl5eq 2806 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
253fveq1i 6353 . . . . . 6 (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
26 s2fv1 13833 . . . . . . 7 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
275, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
2825, 27syl5eq 2806 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘1) = 𝑌)
29 eqeq12 2773 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ↔ 𝑋 = 𝑌))
30 sneq 4331 . . . . . . . 8 ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
3130adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
3231eqeq2d 2770 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}))
33 preq12 4414 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌})
3433sseq1d 3773 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
3529, 32, 34ifpbi123d 1065 . . . . 5 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
3624, 28, 35syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
3720, 36mpbird 247 . . 3 (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
38 c0ex 10226 . . . 4 0 ∈ V
39 oveq1 6820 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
40 0p1e1 11324 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
4139, 40syl6eq 2810 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
42 wkslem2 26714 . . . . 5 ((𝑘 = 0 ∧ (𝑘 + 1) = 1) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
4341, 42mpdan 705 . . . 4 (𝑘 = 0 → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
4438, 43ralsn 4366 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
4537, 44sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
461fveq2i 6355 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
47 s1len 13576 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
4846, 47eqtri 2782 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 1
4948oveq2i 6824 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^1)
50 fzo01 12744 . . . . 5 (0..^1) = {0}
5149, 50eqtri 2782 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = {0}
5251a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0})
5352raleqdv 3283 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
5445, 53mpbird 247 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  if-wif 1050   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  ..^cfzo 12659  chash 13311  ⟨“cs1 13480  ⟨“cs2 13786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793
This theorem is referenced by:  1wlkd  27293
  Copyright terms: Public domain W3C validator