MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1zzd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1zzd 11446
Description: 1 is an integer, deductive form. (Contributed by David A. Wheeler, 6-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
1zzd (𝜑 → 1 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 1zzd
StepHypRef Expression
1 1z 11445 . 2 1 ∈ ℤ
21a1i 11 1 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  1c1 9975  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416
This theorem is referenced by:  fzm1  12458  fzoss2  12535  fz1fzo0m1  12555  fzo1fzo0n0  12558  elfznelfzo  12613  negmod  12755  addmodid  12758  modnegd  12765  2submod  12771  sermono  12873  seqf1olem2  12881  bcp1nk  13144  eqwrds3  13750  climuni  14327  isercoll  14442  telfsumo  14578  fsumparts  14582  binomlem  14605  climcndslem2  14626  climcnds  14627  divcnv  14629  supcvg  14632  arisum  14636  trireciplem  14638  trirecip  14639  expcnv  14640  geo2sum  14648  geo2lim  14650  geoisum1  14654  geoisum1c  14655  mertenslem1  14660  mertenslem2  14661  fprodser  14723  fprodzcl  14728  risefacval2  14785  fallfacval2  14786  binomfallfaclem2  14815  bpolydiflem  14829  ege2le3  14864  rpnnen2lem12  14998  nn0o1gt2  15144  pwp1fsum  15161  bitscmp  15207  dvdsnprmd  15450  hashdvds  15527  phiprmpw  15528  prmdiv  15537  odzdvds  15547  odzphi  15548  modprm1div  15549  iserodd  15587  pcid  15624  pcmptcl  15642  pockthlem  15656  prmreclem4  15670  prmreclem6  15672  vdwapun  15725  prmdvdsprmo  15793  prmodvdslcmf  15798  prmgapprmo  15813  gsumpr12val  17329  mulgpropd  17631  sylow1lem1  18059  sylow3lem6  18093  pgpfac1lem2  18520  zringcyg  19887  mulgrhm2  19895  znunit  19960  znrrg  19962  frgpcyg  19970  cpmadugsumlemF  20729  lmcnp  21156  lmmo  21232  1stcelcls  21312  1stccnp  21313  1stckgenlem  21404  1stckgen  21405  clmvneg1  22945  clmmulg  22947  lmnn  23107  cmetcaulem  23132  iscmet2  23138  causs  23142  nglmle  23146  caubl  23152  iscmet3i  23156  ovolsf  23287  ovoliunlem1  23316  ovoliun  23319  ovoliun2  23320  ovolicc2lem2  23332  ovolicc2lem3  23333  ovolicc2lem4  23334  voliunlem2  23365  voliunlem3  23366  ioombl1lem4  23375  uniioombllem2  23397  uniioombllem3  23399  uniioombllem6  23402  vitalilem4  23425  itg1climres  23526  mbfi1fseqlem6  23532  mbfi1flimlem  23534  mbfmullem2  23536  itg2monolem1  23562  itg2i1fseq  23567  itg2i1fseq2  23568  itg2addlem  23570  plyeq0lem  24011  dvply1  24084  dvtaylp  24169  pserdvlem2  24227  pserdv2  24229  advlogexp  24446  logtayl  24451  logtaylsum  24452  logtayl2  24453  atantayl  24709  leibpilem2  24713  leibpi  24714  birthdaylem2  24724  dfef2  24742  divsqrtsumlem  24751  emcllem4  24770  emcllem6  24772  emcllem7  24773  zetacvg  24786  lgamgulmlem4  24803  lgamgulmlem6  24805  lgamgulm2  24807  lgamcvglem  24811  lgamcvg2  24826  gamcvg  24827  regamcl  24832  relgamcl  24833  wilthlem1  24839  wilthlem2  24840  basellem6  24857  basellem7  24858  basellem8  24859  basellem9  24860  mersenne  24997  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  lgslem1  25067  lgsqrlem1  25116  gausslemma2dlem4  25139  gausslemma2dlem6  25142  gausslemma2dlem7  25143  lgseisenlem1  25145  lgsquad2lem1  25154  lgsquad3  25157  m1lgs  25158  2sqlem11  25199  dchrisumlema  25222  dchrisumlem3  25225  dchrmusum2  25228  dchrvmasumiflem1  25235  dchrvmaeq0  25238  dchrisum0re  25247  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem2a  25251  logdivsum  25267  pntrlog2bndlem1  25311  pntpbnd2  25321  axlowdimlem6  25872  axlowdim  25886  upgrewlkle2  26558  redwlk  26625  pthdadjvtx  26682  pthdlem1  26718  wwlksnextproplem2  26873  clwlksfclwwlk  27049  minvecolem3  27860  minvecolem4b  27862  minvecolem4  27864  h2hcau  27964  h2hlm  27965  hlimadd  28178  hhsscms  28264  occllem  28290  nlelchi  29048  opsqrlem4  29130  hmopidmchi  29138  fzspl  29678  fzsplit3  29681  archirngz  29871  archiabllem1a  29873  smatrcl  29990  submateqlem1  30001  submateqlem2  30002  mdetlap  30026  rge0scvg  30123  lmxrge0  30126  lmdvg  30127  qqhval2lem  30153  esumfsupre  30261  esumpcvgval  30268  esumcvg  30276  eulerpartlems  30550  fiblem  30588  ballotlemfp1  30681  ballotlemimin  30695  ballotlemic  30696  ballotlem1c  30697  ballotlemsdom  30701  ballotlemsel1i  30702  ballotlemsima  30705  ballotlemfrceq  30718  ballotlemfrcn0  30719  chtvalz  30835  sinccvg  31693  circum  31694  divcnvlin  31744  bcprod  31750  iprodgam  31754  faclimlem2  31756  faclim  31758  iprodfac  31759  faclim2  31760  fwddifnp1  32397  lmclim2  33684  geomcau  33685  heibor1lem  33738  heibor1  33739  bfplem1  33751  bfplem2  33752  rrncmslem  33761  rrncms  33762  fzsplit1nn0  37634  eldioph2lem1  37640  pellexlem6  37715  rmspecnonsq  37789  jm2.22  37879  jm2.23  37880  jm2.25  37883  dvradcnv2  38863  binomcxplemnn0  38865  binomcxplemrat  38866  binomcxplemnotnn0  38872  oddfl  39803  uzubioo  40112  fmuldfeq  40133  fmul01lt1lem2  40135  fmul01lt1  40136  clim1fr1  40151  sumnnodd  40180  limsup10exlem  40322  fprodsubrecnncnvlem  40439  fprodaddrecnncnvlem  40441  dvnmul  40476  stoweidlem3  40538  stoweidlem7  40542  stoweidlem11  40546  stoweidlem14  40549  stoweidlem20  40555  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  stoweidlem51  40586  wallispilem5  40604  wallispi  40605  stirlinglem1  40609  stirlinglem5  40613  stirlinglem7  40615  stirlinglem8  40616  stirlinglem10  40618  stirlinglem12  40620  stirlinglem13  40621  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  stirlingr  40625  fourierdlem4  40646  fourierdlem11  40653  fourierdlem26  40668  fourierdlem41  40683  fourierdlem42  40684  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem79  40720  fourierdlem97  40738  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem112  40753  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764  fouriersw  40766  etransclem15  40784  etransclem28  40797  etransclem35  40804  etransclem38  40807  etransclem44  40813  etransclem48  40817  sge0ad2en  40966  voliunsge0lem  41007  caragenunicl  41059  caratheodorylem2  41062  ovolval2lem  41178  ovolval2  41179  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219  iccpartiltu  41683  iccpartgt  41688  fmtnoge3  41767  fmtnoprmfac1lem  41801  pwdif  41826  2pwp1prm  41828  sfprmdvdsmersenne  41845  lighneallem2  41848  perfectALTVlem2  41956  nnsum3primesprm  42003  bgoldbtbndlem3  42020  2even  42258  fldivexpfllog2  42684  nnlog2ge0lt1  42685  logbpw2m1  42686  blenpw2m1  42698  blennnt2  42708  nnolog2flm1  42709  blennn0e2  42713  digexp  42726  dignn0flhalflem1  42734  dignn0flhalflem2  42735
  Copyright terms: Public domain W3C validator