MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 15768
Description: Lemma for 2503prm 15771. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 11253 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 11256 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11456 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 11251 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11456 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 11130 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11462 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2694 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11129 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 11260 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 11460 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 11255 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11456 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 11346 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 11252 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 11456 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 11456 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 11259 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 11456 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 11254 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 11456 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 11456 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 11102 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 11257 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 15720 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2621 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 11466 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 11121 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 9938 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addid2i 10168 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 11098 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 11578 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 11479 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 11510 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 11585 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 11531 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 15706 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 6614 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 11052 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 11035 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 11607 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 9991 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2621 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 11456 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 11456 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2621 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2621 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2621 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2621 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 11078 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 11556 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 11524 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 11097 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 11514 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 11248 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addid1i 10167 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 11456 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2621 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 11248 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2621 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 11088 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 11523 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 10172 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 11464 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 11099 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 6616 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2621 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 11046 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addid2i 10168 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 11523 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2643 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 11125 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 11558 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2643 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 11510 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 11464 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addid2i 10168 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 6616 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2621 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 11523 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2643 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 11044 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 11042 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 11581 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 9991 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 11479 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 11510 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 11512 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 11248 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 10170 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 6614 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addid2i 10168 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 11466 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2647 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 11512 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2621 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 11039 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mulid2i 9987 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 10155 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addid1i 10167 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2643 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 10169 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2647 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 11510 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 11576 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 11523 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 11521 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 11512 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2621 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 11456 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2621 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2621 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 10172 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 11514 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 11258 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 11100 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 11466 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2643 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 6615 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 11583 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 11479 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2643 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mulid2i 9987 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 11048 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 11551 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 10172 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2643 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 11510 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 9991 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 11479 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 11510 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 11248 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulid1i 9986 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulid1i 9986 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 11520 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 11512 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mulid2i 9987 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 2, 35, 146decmul1 11529 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 13, 147, 29decmul1 11529 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 11533 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2646 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 15697 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  cdc 11437   mod cmo 12608  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  2503lem2  15769  2503lem3  15770
  Copyright terms: Public domain W3C validator