MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 16458
Description: Lemma for 2503prm 16461. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 11902 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 11905 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12101 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 11900 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12101 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 11704 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12106 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2906 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11698 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 11909 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 12104 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 11904 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12101 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 11995 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 11901 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 12101 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 12101 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 11908 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 12101 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 11903 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 12101 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 12101 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 11775 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 11906 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 16411 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2818 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 12108 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 11789 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 10583 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addid2i 10816 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 7157 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 11771 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2841 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 12186 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 12117 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 12138 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 12190 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 12151 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 16402 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 7155 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 11725 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 11700 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 12208 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 10638 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2818 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 12101 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 12101 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2818 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2818 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2818 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2818 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 11750 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 12167 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 12147 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 11770 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 12140 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 11897 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addid1i 10815 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 12101 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2818 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 11897 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2818 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 11760 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 12146 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 10820 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 12107 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 11772 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 7157 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2818 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 11716 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addid2i 10816 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 12146 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2841 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 11793 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 12168 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2841 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 12138 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 12107 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addid2i 10816 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 7157 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2818 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 12146 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2841 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 11713 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 11710 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 12188 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 10638 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 12117 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 12138 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 12139 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 11897 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 10818 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 7155 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addid2i 10816 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 12108 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2845 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 12139 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2818 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 11706 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mulid2i 10634 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 10803 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 7157 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addid1i 10815 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2841 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 10817 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2845 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 12138 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 12184 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 12146 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 12144 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 12139 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2818 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 12101 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2818 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2818 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 10820 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 12140 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 11907 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 11773 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 12108 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2841 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 7156 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 12189 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 12117 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2841 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mulid2i 10634 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 11719 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 12163 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 10820 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2841 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 12138 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 10638 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 12117 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 12138 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 11897 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulid1i 10633 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulid1i 10633 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2841 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 12143 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 12139 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mulid2i 10634 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 35, 146decmul1 12150 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 147, 29decmul1 12150 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 12152 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2844 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 16393 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  cdc 12086   mod cmo 13225  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  2503lem2  16459  2503lem3  16460
  Copyright terms: Public domain W3C validator