Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 15768
 Description: Lemma for 2503prm 15771. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 11253 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 11256 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11456 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 11251 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11456 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 11130 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11462 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2694 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11129 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 11260 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 11460 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 11255 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11456 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 11346 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 11252 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 11456 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 11456 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 11259 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 11456 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 11254 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 11456 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 11456 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 11102 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 11257 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 15720 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2621 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 11466 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 11121 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 9938 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addid2i 10168 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 11098 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 11578 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 11479 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 11510 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 11585 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 11531 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 15706 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 6614 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 11052 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 11035 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 11607 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 9991 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2621 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 11456 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 11456 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2621 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2621 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2621 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2621 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 11078 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 11556 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 11524 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 11097 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 11514 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 11248 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addid1i 10167 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 11456 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2621 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 11248 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2621 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 11088 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 11523 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 10172 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 11464 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 11099 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 6616 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2621 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 11046 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addid2i 10168 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 11523 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2643 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 11125 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 11558 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2643 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 11510 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 11464 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addid2i 10168 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 6616 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2621 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 11523 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2643 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 11044 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 11042 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 11581 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 9991 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 11479 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 11510 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 11512 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 11248 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 10170 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 6614 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addid2i 10168 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 11466 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2647 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 11512 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2621 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 11039 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mulid2i 9987 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 10155 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addid1i 10167 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2643 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 10169 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2647 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 11510 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 11576 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 11523 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 11521 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 11512 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2621 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 11456 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2621 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2621 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 10172 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 11514 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 11258 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 11100 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 11466 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2643 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 6615 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 11583 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 11479 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2643 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mulid2i 9987 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 11048 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 11551 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 10172 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2643 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 11510 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 9991 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 11479 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 11510 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 11248 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulid1i 9986 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulid1i 9986 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 11520 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 11512 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mulid2i 9987 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 2, 35, 146decmul1 11529 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 13, 147, 29decmul1 11529 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 11533 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2646 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 15697 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  ℕcn 10964  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  ;cdc 11437   mod cmo 12608  ↑cexp 12800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801 This theorem is referenced by:  2503lem2  15769  2503lem3  15770
 Copyright terms: Public domain W3C validator