MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 15781
Description: Lemma for 2503prm 15782. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 11137 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 11260 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 11267 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11464 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 12821 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 707 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11286 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 11262 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 11464 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 11464 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 11261 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 11264 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 11464 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 11259 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 11464 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 11138 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 11470 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2694 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 15779 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 11086 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2621 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 11487 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 15711 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 11265 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 11266 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 11464 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 11464 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 11263 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 11464 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 11464 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 11464 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 11464 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 11464 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 11464 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 11268 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 11464 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 11464 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 11354 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 11354 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 15170 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 11144 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 11470 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 10983 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 11470 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 11043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mulid2i 9995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 11096 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 11110 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 11615 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 11487 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 11518 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 11181 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 11482 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 15071 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 15760 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 15358 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 11050 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mulid2i 9995 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 6622 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 11114 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 11060 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mulid2i 9995 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 6620 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 11579 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 11520 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 15712 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2621 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 11054 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mulid2i 9995 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 11106 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 6622 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 11552 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2643 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 11058 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mulid2i 9995 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 6620 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 11578 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 10180 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2643 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 11520 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 15712 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2621 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 11108 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 11474 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 11127 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 10163 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 6622 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 9946 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addid1i 10175 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2643 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 6620 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 11056 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 11109 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 10180 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 11474 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2647 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 11520 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mulid2i 9995 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 6620 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 11569 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 10180 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 11520 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 15712 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2621 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2621 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 11487 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 11128 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 6622 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 11606 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 9999 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 11121 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 11531 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 11520 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 11052 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 11586 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 9999 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addid2i 10176 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 11531 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 11520 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 15712 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2621 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2621 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 11487 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 11520 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 11559 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2643 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 11520 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 15712 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2621 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2621 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 11487 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 6621 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 11593 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 9999 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 10180 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 11531 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 11600 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 9999 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 11574 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 10180 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 11532 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 11520 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 11129 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 6620 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 11557 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 10180 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2643 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 11520 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 15712 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2621 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 11256 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addid1i 10175 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addid2i 10176 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 6622 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2643 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 6620 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2643 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 11520 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 11047 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mulid2i 9995 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 11555 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 10180 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2643 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 11520 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 6620 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 11104 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 11474 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2647 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 11520 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2646 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 15712 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 15713 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  cmin 10218  cn 10972  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  7c7 11027  8c8 11028  9c9 11029  0cn0 11244  cz 11329  cdc 11445  cexp 12808  cdvds 14918   gcd cgcd 15151  cprime 15320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321
This theorem is referenced by:  2503prm  15782
  Copyright terms: Public domain W3C validator