Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503prm 16069
 Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 16053 . 2 139 ∈ ℙ
2 1nn0 11520 . . 3 1 ∈ ℕ0
3 8nn 11403 . . 3 8 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11730 . 2 18 ∈ ℕ
5 2503prm.1 . . . . 5 𝑁 = 2503
6 2nn0 11521 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
7 5nn0 11524 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
86, 7deccl 11724 . . . . . . 7 25 ∈ ℕ0
9 0nn0 11519 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11724 . . . . . 6 250 ∈ ℕ0
11 2p1e3 11363 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
12 eqid 2760 . . . . . 6 2502 = 2502
1310, 6, 11, 12decsuc 11747 . . . . 5 (2502 + 1) = 2503
145, 13eqtr4i 2785 . . . 4 𝑁 = (2502 + 1)
1514oveq1i 6824 . . 3 (𝑁 − 1) = ((2502 + 1) − 1)
16 8nn0 11527 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11724 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 3nn0 11522 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
192, 18deccl 11724 . . . . 5 13 ∈ ℕ0
20 9nn0 11528 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
21 eqid 2760 . . . . 5 139 = 139
22 6nn0 11525 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
232, 22deccl 11724 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
24 eqid 2760 . . . . . 6 13 = 13
25 eqid 2760 . . . . . 6 16 = 16
26 7nn0 11526 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
27 eqid 2760 . . . . . . 7 18 = 18
28 6cn 11314 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
29 ax-1cn 10206 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
30 6p1e7 11368 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
3128, 29, 30addcomli 10440 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
3226dec0h 11734 . . . . . . . 8 7 = 07
3331, 32eqtri 2782 . . . . . . 7 (1 + 6) = 07
3429mulid1i 10254 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
3529addid2i 10436 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35oveq12i 6826 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37 1p1e2 11346 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3836, 37eqtri 2782 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39 8cn 11318 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
4039mulid1i 10254 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
4140oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42 8p7e15 11829 . . . . . . . 8 (8 + 7) = 15
4341, 42eqtri 2782 . . . . . . 7 ((8 · 1) + 7) = 15
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 11778 . . . . . 6 ((18 · 1) + (1 + 6)) = 25
4522dec0h 11734 . . . . . . 7 6 = 06
46 3cn 11307 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4746mulid2i 10255 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
4846addid2i 10436 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
4947, 48oveq12i 6826 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50 3p3e6 11373 . . . . . . . 8 (3 + 3) = 6
5149, 50eqtri 2782 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52 4nn0 11523 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
53 8t3e24 11867 . . . . . . . 8 (8 · 3) = 24
54 4cn 11310 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
55 6p4e10 11810 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
5628, 54, 55addcomli 10440 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 11793 . . . . . . 7 ((8 · 3) + 6) = 30
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 11778 . . . . . 6 ((18 · 3) + 6) = 60
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 11780 . . . . 5 ((18 · 13) + 16) = 250
60 9cn 11320 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6160mulid2i 10255 . . . . . . . 8 (1 · 9) = 9
6261oveq1i 6824 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63 9p7e16 11837 . . . . . . 7 (9 + 7) = 16
6462, 63eqtri 2782 . . . . . 6 ((1 · 9) + 7) = 16
65 9t8e72 11881 . . . . . . 7 (9 · 8) = 72
6660, 39, 65mulcomli 10259 . . . . . 6 (8 · 9) = 72
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 11799 . . . . 5 (18 · 9) = 162
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 11801 . . . 4 (18 · 139) = 2502
6910, 6deccl 11724 . . . . . 6 2502 ∈ ℕ0
7069nn0cni 11516 . . . . 5 2502 ∈ ℂ
7170, 29pncan3oi 10509 . . . 4 ((2502 + 1) − 1) = 2502
7268, 71eqtr4i 2785 . . 3 (18 · 139) = ((2502 + 1) − 1)
7315, 72eqtr4i 2785 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · 139)
7410, 18deccl 11724 . . . . . 6 2503 ∈ ℕ0
755, 74eqeltri 2835 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
7675nn0cni 11516 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
77 npcan 10502 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7876, 29, 77mp2an 710 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
7978eqcomi 2769 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80 1nn 11243 . 2 1 ∈ ℕ
81 2nn 11397 . 2 2 ∈ ℕ
8219, 20deccl 11724 . . . . 5 139 ∈ ℕ0
8382numexp1 16003 . . . 4 (139↑1) = 139
8483oveq2i 6825 . . 3 (18 · (139↑1)) = (18 · 139)
8573, 84eqtr4i 2785 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · (139↑1))
86 8lt10 11886 . . . 4 8 < 10
87 1lt10 11893 . . . . 5 1 < 10
8880, 18, 2, 87declti 11758 . . . 4 1 < 13
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 11744 . . 3 18 < 139
9089, 83breqtrri 4831 . 2 18 < (139↑1)
9152503lem2 16067 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
9252503lem3 16068 . 2 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 15833 1 𝑁 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286   − cmin 10478  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  6c6 11286  7c7 11287  8c8 11288  9c9 11289  ℕ0cn0 11504  ;cdc 11705  ↑cexp 13074  ℙcprime 15607 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-odz 15692  df-phi 15693  df-pc 15764 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator