Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atmat0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atmat0 34631
 Description: The meet of two unequal lines (expressed as joins of atoms) is an atom or zero. (Contributed by NM, 2-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atmatz.j = (join‘𝐾)
2atmatz.m = (meet‘𝐾)
2atmatz.z 0 = (0.‘𝐾)
2atmatz.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atmat0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2atmat0
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
2 simpr1 1065 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝐴)
3 simpr2 1066 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑆𝐴)
43orcd 407 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑆𝐴𝑆 = 0 ))
5 simpr3 1067 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))
6 2atmatz.j . . 3 = (join‘𝐾)
7 2atmatz.m . . 3 = (meet‘𝐾)
8 2atmatz.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
9 2atmatz.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
106, 7, 8, 92at0mat0 34630 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
111, 2, 4, 5, 10syl13anc 1326 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  joincjn 16925  meetcmee 16926  0.cp0 17018  Atomscatm 34369  HLchlt 34456 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603 This theorem is referenced by:  2atm  34632  trlval3  35293  cdleme22b  35448  cdlemg31b0N  35801  cdlemh  35924
 Copyright terms: Public domain W3C validator