Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atneat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atneat 36531
Description: The join of two distinct atoms is not an atom. (Contributed by NM, 12-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atneat.j = (join‘𝐾)
2atneat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atneat ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2atneat
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr1 1186 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑃𝐴)
3 simpr2 1187 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑄𝐴)
4 simpr3 1188 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑃𝑄)
5 2atneat.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 2atneat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2818 . . . 4 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
85, 6, 7llni2 36528 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
91, 2, 3, 4, 8syl31anc 1365 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
106, 7llnneat 36530 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾)) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)
119, 10syldan 591 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cfv 6348  (class class class)co 7145  joincjn 17542  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LLinesclln 36507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514
This theorem is referenced by:  cdleme18b  37308
  Copyright terms: Public domain W3C validator