Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelpln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atnelpln 34296
Description: The join of two atoms is not a lattice plane. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atnelpln.j = (join‘𝐾)
2atnelpln.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2atnelpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atnelpln ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem 2atnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 34116 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2626 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 2atnelpln.j . . . 4 = (join‘𝐾)
5 2atnelpln.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
63, 4, 5hlatjcl 34119 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2626 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
83, 7latref 16969 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))
92, 6, 8syl2anc 692 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))
10 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
11 simpr 477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃)
12 simpl2 1063 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃) → 𝑄𝐴)
13 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃) → 𝑅𝐴)
14 2atnelpln.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
157, 4, 5, 14lplnnle2at 34293 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 𝑅) ∈ 𝑃𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ (𝑄 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))
1610, 11, 12, 13, 15syl13anc 1325 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃) → ¬ (𝑄 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))
1716ex 450 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ((𝑄 𝑅) ∈ 𝑃 → ¬ (𝑄 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
189, 17mt2d 131 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  Latclat 16961  Atomscatm 34016  HLchlt 34103  LPlanesclpl 34244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-lplanes 34251
This theorem is referenced by:  islpln2a  34300
  Copyright terms: Public domain W3C validator